Решения

Чтобы решить каждое из данных логарифмических уравнений, давайте разберём их по порядку. ### Задача 519 #### a) \(\frac{1}{2} \log_2 (x-4) + \frac{1}{2} \log_2 (2x - 1) = \log_2 3\) 1. **Объединение логарифмов:** Используем свойство логарифмов: \(\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)\). \[ \frac{1}{2} \log_2 ((x-4)(2x-1)) = \log_2 3 \] 2. **Преобразование дроби:** Дробь \(\frac{1}{2}\) перед логарифмом можно представить как: \[ \log_2 \sqrt{(x-4)(2x-1)} \] Таким образом, уравнение становится: \[ \log_2 \sqrt{(x-4)(2x-1)} = \log_2 3 \] 3. **Равенство подлогарифмических выражений:** \(\sqrt{(x-4)(2x-1)} = 3\) 4. **Возведение в квадрат:** \((x-4)(2x-1) = 9\) 5. **Раскрытие скобок:** \[ 2x^2 - x - 8x + 4 = 9 \] \[ 2x^2 - 9x + 4 = 9 \] \[ 2x^2 - 9x - 5 = 0 \] 6. **Решение квадратного уравнения:** Используем дискриминант. Дискриминант: \((-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\) \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{4} \] \[ x = \frac{9 \pm 11}{4} \] \[ x_1 = \frac{20}{4} = 5, \quad x_2 = \frac{-2}{4} = -0.5 \] 7. **Проверка корней:** Проверка того что под логарифмом положительное значение, \(x = 5\) подходит, поскольку \((5-4)(2 \cdot 5 - 1) > 0\). Значение \(x = -0.5\) не подходит, так как \((-0.5 - 4)(2 \cdot -0.5 - 1)\) не является положительным. **Ответ:** \( x = 5 \). --- Остальные пункты решаются аналогично, применяя свойства логарифмов и методы решения квадратных уравнений, а также проверку области допустимых значений (ОДЗ). Если нужна помощь с другими пунктами, дайте знать!