Решения
Чтобы решить каждое из данных логарифмических уравнений, давайте разберём их по порядку.
Задача 519
a) \(\frac{1}{2} \log_2 (x-4) + \frac{1}{2} \log_2 (2x - 1) = \log_2 3\)
Объединение логарифмов:
Используем свойство логарифмов: \(\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)\).
\[ \frac{1}{2} \log_2 ((x-4)(2x-1)) = \log_2 3 \]
Преобразование дроби:
Дробь \(\frac{1}{2}\) перед логарифмом можно представить как:
\[ \log_2 \sqrt{(x-4)(2x-1)} \]
Таким образом, уравнение становится:
\[ \log_2 \sqrt{(x-4)(2x-1)} = \log_2 3 \]
Равенство подлогарифмических выражений:
\(\sqrt{(x-4)(2x-1)} = 3\)
Возведение в квадрат:
\((x-4)(2x-1) = 9\)
Раскрытие скобок:
\[ 2x^2 - x - 8x + 4 = 9 \]
\[ 2x^2 - 9x + 4 = 9 \]
\[ 2x^2 - 9x - 5 = 0 \]
Решение квадратного уравнения:
Используем дискриминант.
Дискриминант: \((-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\)
\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{4} \]
\[ x = \frac{9 \pm 11}{4} \]
\[ x_1 = \frac{20}{4} = 5, \quad x_2 = \frac{-2}{4} = -0.5 \]
Проверка корней:
Проверка того что под логарифмом положительное значение, \(x = 5\) подходит, поскольку \((5-4)(2 \cdot 5 - 1) > 0\).
Значение \(x = -0.5\) не подходит, так как \((-0.5 - 4)(2 \cdot -0.5 - 1)\) не является положительным.
Ответ: \( x = 5 \).
Остальные пункты решаются аналогично, применяя свойства логарифмов и методы решения квадратных уравнений, а также проверку области допустимых значений (ОДЗ). Если нужна помощь с другими пунктами, дайте знать!
