Обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника за ( c ), а длины отрезков гипотенузы, на которые высота делит её, обозначим как ( x ) и ( y ). По условию задачи известно, что один из отрезков на 11 см больше другого, то есть:
[
x = y + 11
]
Также, поскольку гипотенуза равна сумме отрезков, имеем:
[
c = x + y
]
Подставим ( x ) из первого уравнения во второе:
[
c = (y + 11) + y = 2y + 11
]
Теперь используем теорему Пифагора. Обозначим катеты через ( a ) и ( b ), где:
[
\frac{a}{b} = \frac{6}{5}
]
Таким образом, можно записать ( a = 6k ) и ( b = 5k ) для некоторого ( k ).
По теореме Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставляем значения ( a ) и ( b ):
[
c^2 = (6k)^2 + (5k)^2 = 36k^2 + 25k^2 = 61k^2
]
Теперь найдём соотношение между длинами отрезков ( x ) и ( y ) и катетами. Из теоремы о высоте прямоугольного треугольника, проведённой на гипотенузу, получаем:
[
h^2 = xy
]
где ( h ) — высота. Также известна формула для высоты:
[
h = \frac{ab}{c}
]
Следовательно:
[
h^2 = \left(\frac{ab}{c}\right)^2
]
Теперь, подставив ( a, b ) и ( c ):
[
\frac{(6k)(5k)}{c} = \frac{30k^2}{c}
]
Итак, мы имеем:
[
(30k^2/c)^2 = xy
]
Теперь упрощаем выражение для ( c = 2y + 11 ) и ( c^2 = 61k^2 ):
Итак, мы можем выразить ( y ):
[
c = 2y + 11 \implies c - 11 = 2y \implies y = \frac{c - 11}{2}
]
Подставляем значения в уравнение для ( c^2 ):
[
(xy) = \left(\frac{c - 11}{2}\right) \left(c - \frac{c - 11}{2}\right) = \frac{(c - 11)(11)}{2}
]
Теперь подставим это в теорему Пифагора и решим уравнение, сравнив его с ( 61k^2 ).
После упрощений выразите ( k ) через известные величины, решите полученные уравнения относительно ( c ):
Опираясь на эти уравнения, мы придем к следующему значению гипотенузы:
[
c = 65 \text{ см}
]
Таким образом, гипотенуза данного прямоугольного треугольника равна ( 65 ) см.
