2*2

Чтобы найти угол \( \angle MKN \) в треугольнике \( MKN \) с заданными координатами точек \( M(4, -3) \), \( N(6, 4) \), \( K(8, -2) \), сначала найдем векторы, которые образуют угол.

1. Найти векторы \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{KN}\):

   • \(\overrightarrow{MK} = (8 - 4, -2 - (-3)) = (4, 1)\)
   • \(\overrightarrow{KN} = (6 - 8, 4 - (-2)) = (-2, 6)\)

2. Вычислить скалярное произведение этих векторов: \[ \overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{KN} = 4 \cdot (-2) + 1 \cdot 6 = -8 + 6 = -2 \]

3. Найти длины векторов \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{KN}\): \[ |\overrightarrow{MK}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \] \[ |\overrightarrow{KN}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

4. Воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{KN}}{|\overrightarrow{MK}| |\overrightarrow{KN}|} = \frac{-2}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{-2}{2\sqrt{170}} = \frac{-1}{\sqrt{170}} \]

5. Найти угол с помощью обратного косинуса:

   Вычисляя, \(\cos^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{170}})\), мы получаем приближенно 90 градусов.

Поэтому, угол \( \angle MKN \) равен 90°, что соответствует варианту ответа (D) 90°.