Задание №1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график 1 y = 4 - 2x - 7x ^ 2 11 y = - x ^ 2 + 5x + 4 2 y = 5 + 12x - x ^ 3 12 3 y = 2x ^ 3 + 3x ^ 2 - 4 13 y =…
Задание №1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график 1 y = 4 - 2x - 7x ^ 2 11 y = - x ^ 2 + 5x + 4 2 y = 5 + 12x - x ^ 3 12 3 y = 2x ^ 3 + 3x ^ 2 - 4 13 y = x ^ 4 - 2x ^ 2 - 3 4 y = 9 + 8x ^ 2 - x ^ 4 14 y = 6x ^ 2 - x - 5 5 y = - 2x ^ 2 + x 15 y = 3x ^ 2 - x ^ 3 6 16 y = x ^ 3 - 6x ^ 2 - 15x - 2 7 17 8 9 1 3x ^ 5 - 20x ^ 3 + 9 -10;-1] 11 2 3x ^ 5 - 20x ^ 3 - 8 -5; 1] 12 3 3x ^ 5 - 20x ^ 3 - 16 -3;-1] 13 4 x ^ 5 - 5x ^ 3 - 20x -8;1] 14 y = - 10, 5x ^ 2 - x ^ 3 + 22 [-1;8 5 x ^ 5 + 15x ^ 3 - 260x [- 10; 0] 15 y = x ^ 3 - 2, 5x ^ 2 - 50x - 2 13;12) 4 из 5 y = x ^ 3 + 9, 5x ^ 2 - 72x + 18 y = x ^ 3 - 3, 5x ^ 2 + 4x - 23 -3:3 16 6 [-16;-6] 73 YY W Приск y = 3x ^ 5 - 5x ^ 3 + 2 10 y = 1/4 * x ^ 4 - 1/2 * x ^ 2 Задание №2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке x ^ 5 + 15x ^ 3 - 50x [- 5; 0] x ^ 5 - 10x ^ 3 - 135x -5;1] y = x ^ 3 + 16x ^ 2 + 64x + 7 [-11;-7 18 y = 5x ^ 3 - 3x ^ 5 19 20 y = 1/2 * x ^ 4 - 8x ^ 2 y = 1/5 * x ^ 5 - 1/3 * x ^ 3 y = 1/2 * x ^ 4 - x ^ 2 y = 2x - 1/6 * x ^ 3 y = - 5x ^ 2 - 10x y = 4x ^ 2 - 2x ^ 4 y = - 2 + 3x - x ^ 3
Чтобы разобраться с задачами, которые вы представили, мы будем исследовать несколько функций с помощью производных и затем найдем наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках. Давайте пошагово рассмотрим каждую задачу.
Задание 1: Исследование функции с помощью производной
Рассмотрим функцию \( y = 4 - 2x - 7x^2 \).
Найдём производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(4 - 2x - 7x^2) = 0 - 2 - 14x = -2 - 14x \]
Найдём критические точки: Установим производную равной нулю: \[ -2 - 14x = 0 \implies 14x = -2 \implies x = -\frac{1}{7} \]
Исследуем знак производной:
- Для \( x < -\frac{1}{7} \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)
- Для \( x > -\frac{1}{7} \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
Это означает, что в точке \( x = -\frac{1}{7} \) находится максимальная точка.
Найдём значение функции в критической точке: \[ y\left(-\frac{1}{7}\right) = 4 - 2\left(-\frac{1}{7}\right) - 7\left(-\frac{1}{7}\right)^2 = 4 + \frac{2}{7} - 7 \cdot \frac{1}{49} = 4 + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = 4 + \frac{1}{7} = \frac{29}{7} \]
Исследуем поведение функции на интервале - Определяем интервалы:
Чтобы построить график функции, важно знать пределы и поведение функции на границах. Например, давайте проверим поведение функции при \( x \to -\infty \) и \( x \to +\infty \).
- При \( x \to -\infty, y \to +\infty \)
- При \( x \to +\infty, y \to -\infty \)
На графике это будет выглядеть как парабола, раскрытая вниз.
Задание 2: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Рассмотрим функцию \( y = x^5 + 15x^3 - 50x \) на отрезке \([-5, 0]\).
Найдём производную функции: \[ y' = 5x^4 + 45x^2 - 50 \]
Найдём критические точки, установив производную равной нулю: \[ 5x^4 + 45x^2 - 50 = 0 \implies x^4 + 9x^2 - 10 = 0 \]
Пусть \( z = x^2 \): \[ z^2 + 9z - 10 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 \implies z = \frac{-9 \pm 11}{2} \] Значения: \[ z_1 = 1, \quad z_2 = -10 \quad (z_2 < 0, не берем) \] Получаем: \[ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Мы берем только \( x = 1 \), так как \( x = -1 \) попадает в отрезок.
Найдём значения в границах отрезка и в критической точке \( x = -1 \):
- \( y(-5) = (-5)^5 + 15(-5)^3 - 50(-5) = -3125 - 1875 + 250 = -4750 \)
- \( y(0) = 0 \)
- \( y(-1) = (-1)^5 + 15(-1)^3 - 50(-1) = -1 - 15 + 50 = 34 \)
Таким образом:
- Максимальное значение на отрезке \([-5, 0]\) — \( 34 \) (в точке \( x=-1 \))
- Минимальное значение на отрезке — \(-4750\) (в точке \( x = -5 \))
Построение графиков
Для построения графиков вам понадобятся графические калькуляторы или программное обеспечение, поддерживающее построение функций (например, Desmos, GeoGebra и т.д.).
Эти шаги помогут вам понять, как исследовать функции и находить экстремумы с использованием производных. Если есть дополнительные задания или вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
