Выделить полный квадрат:2x²-5x+2=0
Чтобы выделить полный квадрат в уравнении \(2x² - 5x + 2 = 0\), давайте сначала упростим этот процесс.
Приведем уравнение к удобной форме. Начнем с того, что сделаем коэффициент при \(x²\) равным 1. Для этого разделим все уравнение на 2:
\[ x² - \frac{5}{2}x + 1 = 0 \]
Выделение полного квадрата. Теперь мы можем сосредоточиться на выражении \(x² - \frac{5}{2}x\). Чтобы выделить полный квадрат, нам нужно вычислить половину коэффициента при \(x\) (то есть \(-\frac{5}{2}\)) и возвести её в квадрат:
\[ \text{Половина коэффициента} = -\frac{5}{4} \] \[ \text{Квадрат половины} = \left(-\frac{5}{4}\right)² = \frac{25}{16} \]
Теперь добавим и вычтем это значение в уравнении:
\[ x² - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} - \frac{25}{16} + 1 = 0 \]
Перепишем уравнение. Переписываем выражение:
\[ \left(x - \frac{5}{4}\right)² - \frac{25}{16} + 1 = 0 \]
Упрощаем константы. Преобразуем константы:
\[ 1 = \frac{16}{16} \]
Теперь подставим это значение:
\[ -\frac{25}{16} + \frac{16}{16} = -\frac{9}{16} \]
Углубляемся в итог:
\[ \left(x - \frac{5}{4}\right)² - \frac{9}{16} = 0 \]
Изолируем квадратное выражение. Переносим константу на правую сторону:
\[ \left(x - \frac{5}{4}\right)² = \frac{9}{16} \]
Находим корни. Теперь, чтобы найти \(x\), мы извлекаем квадратный корень из обеих сторон:
\[ x - \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4} \]
Рассмотрим два случая:
Тот случай, когда \(x - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}\): \[ x = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]
Тот случай, когда \(x - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}\): \[ x = \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Таким образом, у нас есть два корня уравнения:
\[ x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{1}{2} \]
Теперь мы выделили полный квадрат и получили решения уравнения \(2x² - 5x + 2 = 0\). Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим упражнением, не стесняйтесь спрашивать!
