B) log_2(x ^ 2 - 3x - 10) = 3 ;

Давайте решим уравнение \( \log_2(x^2 - 3x - 10) = 3 \) пошагово. ### Шаг 1: Преобразуем логарифмическое уравнение Логарифмическое уравнение можно преобразовать в экспоненциальную форму. Если \( \log_b(a) = c \), то это эквивалентно \( a = b^c \). Применим это к нашему уравнению: \[ x^2 - 3x - 10 = 2^3 \] ### Шаг 2: Вычислим \( 2^3 \) Теперь вычислим \( 2^3 \): \[ 2^3 = 8 \] Таким образом, у нас получается: \[ x^2 - 3x - 10 = 8 \] ### Шаг 3: Переносим все слагаемые в одну сторону Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 3x - 10 - 8 = 0 \] Упростим это: \[ x^2 - 3x - 18 = 0 \] ### Шаг 4: Решаем квадратное уравнение Теперь мы можем решить квадратное уравнение \( x^2 - 3x - 18 = 0 \) с использованием формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -18 \). #### Вычислим дискриминант Сначала найдем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \] #### Находим корни Теперь подставим дискриминант в формулу: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} \] Вычисляем \( \sqrt{81} = 9 \): \[ x = \frac{3 \pm 9}{2} \] Это дает нам два решения: 1. \( x_1 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) 2. \( x_2 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) ### Шаг 5: Проверяем, подходят ли найденные значения Поскольку мы работаем с логарифмами, нужно убедиться, что подлогарифмическое выражение \( x^2 - 3x - 10 \) положительно для найденных корней. 1. Для \( x = 6 \): \[ 6^2 - 3 \cdot 6 - 10 = 36 - 18 - 10 = 8 \quad (положительно) \] 2. Для \( x = -3 \): \[ (-3)^2 - 3 \cdot (-3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 \quad (положительно) \] Оба значения \( x = 6 \) и \( x = -3 \) подходят. Следовательно, оба являются решениями уравнения. ### Ответ Таким образом, решения уравнения \( \log_2(x^2 - 3x - 10) = 3 \) следующие: \[ x = 6 \quad \text{и} \quad x = -3 \]