B) log_2(x ^ 2 - 3x - 10) = 3 ;
Давайте решим уравнение \( \log_2(x^2 - 3x - 10) = 3 \) пошагово.
Шаг 1: Преобразуем логарифмическое уравнение
Логарифмическое уравнение можно преобразовать в экспоненциальную форму. Если \( \log_b(a) = c \), то это эквивалентно \( a = b^c \). Применим это к нашему уравнению:
\[ x^2 - 3x - 10 = 2^3 \]
Шаг 2: Вычислим \( 2^3 \)
Теперь вычислим \( 2^3 \):
\[ 2^3 = 8 \]
Таким образом, у нас получается:
\[ x^2 - 3x - 10 = 8 \]
Шаг 3: Переносим все слагаемые в одну сторону
Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения:
\[ x^2 - 3x - 10 - 8 = 0 \]
Упростим это:
\[ x^2 - 3x - 18 = 0 \]
Шаг 4: Решаем квадратное уравнение
Теперь мы можем решить квадратное уравнение \( x^2 - 3x - 18 = 0 \) с использованием формулы корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -18 \).
Вычислим дискриминант
Сначала найдем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \]
Находим корни
Теперь подставим дискриминант в формулу:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} \]
Вычисляем \( \sqrt{81} = 9 \):
\[ x = \frac{3 \pm 9}{2} \]
Это дает нам два решения:
- \( x_1 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)
- \( x_2 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
Шаг 5: Проверяем, подходят ли найденные значения
Поскольку мы работаем с логарифмами, нужно убедиться, что подлогарифмическое выражение \( x^2 - 3x - 10 \) положительно для найденных корней.
Для \( x = 6 \): \[ 6^2 - 3 \cdot 6 - 10 = 36 - 18 - 10 = 8 \quad (положительно) \]
Для \( x = -3 \): \[ (-3)^2 - 3 \cdot (-3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 \quad (положительно) \]
Оба значения \( x = 6 \) и \( x = -3 \) подходят. Следовательно, оба являются решениями уравнения.
Ответ
Таким образом, решения уравнения \( \log_2(x^2 - 3x - 10) = 3 \) следующие:
\[ x = 6 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
