Для решения задачи найдем длину дистанции, на которую бегут три бегуна, с учётом их стартовых условий и скоростей.
Дано:
- Первый бегун: скорость = 7 м/с, стартует в момент t = 0 секунд.
- Второй бегун: скорость = 8 м/с, стартует в момент t = 1 секунда.
- Третий бегун: скорость = 9 м/с, стартует в момент t = 2 секунды.
- Сумма расстояний от третьего бегуна до двух остальных не превышает 2 метра в момент его финиша.
Обозначим:
- ( d ) — длина дистанции.
- ( t_3 ) — время, за которое третий бегун финиширует.
Шаг 1: Время финиша третьего бегуна
Третий бегун начинает бежать в момент t = 2 секунды. Мы можем выразить время его финиша через длину дистанции:
[
d = v_3 \times (t_3 - 2),
]
где ( v_3 = 9 , \text{м/с} ).
Следовательно:
[
t_3 = \frac{d}{9} + 2.
]
Шаг 2: Позиции других бегунов в момент финиша третьего
В момент финиша третьего бегуна (время ( t_3 )):
- Позиция первого бегуна:
[
x_1 = 7 \times t_3 = 7 \left(\frac{d}{9} + 2\right) = \frac{7d}{9} + 14.
]
- Позиция второго бегуна:
[
x_2 = 8 \times (t_3 - 1) = 8 \left(\frac{d}{9} + 2 - 1\right) = 8 \left(\frac{d}{9} + 1\right) = \frac{8d}{9} + 8.
]
Шаг 3: Сумма расстояний
Согласно условию, сумма расстояний от третьего бегуна до первых двух не превышает 2 метра. Позиция третьего бегуна в момент финиша:
[
x_3 = d.
]
Теперь найдем расстояния:
- До первого:
[
d - \left(\frac{7d}{9} + 14\right) = d - \frac{7d}{9} - 14 = \frac{2d}{9} - 14.
]
- До второго:
[
d - \left(\frac{8d}{9} + 8\right) = d - \frac{8d}{9} - 8 = \frac{d}{9} - 8.
]
Сложим эти расстояния и приравняем к 2:
[
\left(\frac{2d}{9} - 14\right) + \left(\frac{d}{9} - 8\right) \leq 2.
]
Шаг 4: Упрощение и решение неравенства
Сложим две части:
[
\frac{2d}{9} + \frac{d}{9} - 14 - 8 \leq 2,
]
[
\frac{3d}{9} - 22 \leq 2.
]
Упростим:
[
\frac{d}{3} \leq 24 \implies d \leq 72.
]
Таким образом, длина дистанции не превышает 72 метра.
Проверка
Чтобы убедиться, что 72 метра подходит, подставим ( d = 72 ) обратно в уравнение для расстояний:
- Позиция первого:
[
x_1 = \frac{7 \times 72}{9} + 14 = 56 + 14 = 70.
]
- Позиция второго:
[
x_2 = \frac{8 \times 72}{9} + 8 = 64 + 8 = 72.
]
- Позиция третьего бегуна:
[
x_3 = 72.
]
Теперь расстояния:
- Расстояние до первого: ( 72 - 70 = 2 ).
- Расстояние до второго: ( 72 - 72 = 0 ).
Сумма: ( 2 + 0 = 2 ). Условие выполняется.
Вывод:
Длина дистанции составляет 72 метра.
