Три бегуна стартуют в одном направлении на одну дистанцию с интервалом в 1 секунду, Скорость стартовавшего первым 7м/сек, вторым 8м/сек, третьим 9м/сек. Третий бегун финишировал…

Для решения задачи найдем длину дистанции, на которую бегут три бегуна, с учётом их стартовых условий и скоростей.

Дано:

• Первый бегун: скорость = 7 м/с, стартует в момент t = 0 секунд.
• Второй бегун: скорость = 8 м/с, стартует в момент t = 1 секунда.
• Третий бегун: скорость = 9 м/с, стартует в момент t = 2 секунды.
• Сумма расстояний от третьего бегуна до двух остальных не превышает 2 метра в момент его финиша.

Обозначим:

• \( d \) — длина дистанции.
• \( t_3 \) — время, за которое третий бегун финиширует.

Шаг 1: Время финиша третьего бегуна

Третий бегун начинает бежать в момент t = 2 секунды. Мы можем выразить время его финиша через длину дистанции:

\[ d = v_3 \times (t_3 - 2), \] где \( v_3 = 9 \, \text{м/с} \).

Следовательно: \[ t_3 = \frac{d}{9} + 2. \]

Шаг 2: Позиции других бегунов в момент финиша третьего

В момент финиша третьего бегуна (время \( t_3 \)):

• Позиция первого бегуна: \[ x_1 = 7 \times t_3 = 7 \left(\frac{d}{9} + 2\right) = \frac{7d}{9} + 14. \]
• Позиция второго бегуна: \[ x_2 = 8 \times (t_3 - 1) = 8 \left(\frac{d}{9} + 2 - 1\right) = 8 \left(\frac{d}{9} + 1\right) = \frac{8d}{9} + 8. \]

Шаг 3: Сумма расстояний

Согласно условию, сумма расстояний от третьего бегуна до первых двух не превышает 2 метра. Позиция третьего бегуна в момент финиша: \[ x_3 = d. \]

Теперь найдем расстояния:

1. До первого: \[ d - \left(\frac{7d}{9} + 14\right) = d - \frac{7d}{9} - 14 = \frac{2d}{9} - 14. \]
2. До второго: \[ d - \left(\frac{8d}{9} + 8\right) = d - \frac{8d}{9} - 8 = \frac{d}{9} - 8. \]

Сложим эти расстояния и приравняем к 2: \[ \left(\frac{2d}{9} - 14\right) + \left(\frac{d}{9} - 8\right) \leq 2. \]

Шаг 4: Упрощение и решение неравенства

Сложим две части: \[ \frac{2d}{9} + \frac{d}{9} - 14 - 8 \leq 2, \] \[ \frac{3d}{9} - 22 \leq 2. \] Упростим: \[ \frac{d}{3} \leq 24 \implies d \leq 72. \]

Таким образом, длина дистанции не превышает 72 метра.

Проверка

Чтобы убедиться, что 72 метра подходит, подставим \( d = 72 \) обратно в уравнение для расстояний:

• Позиция первого: \[ x_1 = \frac{7 \times 72}{9} + 14 = 56 + 14 = 70. \]
• Позиция второго: \[ x_2 = \frac{8 \times 72}{9} + 8 = 64 + 8 = 72. \]
• Позиция третьего бегуна: \[ x_3 = 72. \]

Теперь расстояния:

1. Расстояние до первого: \( 72 - 70 = 2 \).
2. Расстояние до второго: \( 72 - 72 = 0 \).

Сумма: \( 2 + 0 = 2 \). Условие выполняется.

Вывод:

Длина дистанции составляет 72 метра.