Чтобы понять, как изменится период колебаний груза на пружине с изменённой жесткостью, давайте вспомним формулу для периода колебаний пружинного маятника.
Формула для периода колебаний пружинного маятника
Период колебаний (T) пружинного маятника, подвешенного на пружине, определяется по формуле:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
]
где:
- ( T ) — период колебаний;
- ( m ) — масса груза;
- ( k ) — жесткость пружины.
Изменение жесткости пружины
В этой задаче нам дано, что новая пружина имеет жесткость, которая в 4 раза меньше, чем первоначальная. То есть, если ( k ) — это жесткость старой пружины, то новая жесткость будет:
[
k_{\text{new}} = \frac{k}{4}
]
Подставим новую жесткость в формулу
Теперь подставим новую жесткость в формулу для периода:
[
T_{\text{new}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{\text{new}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{k}{4}}}
]
Упростим выражение
Для упрощения можно выразить дробь:
[
T_{\text{new}} = 2\pi \sqrt{\frac{m \cdot 4}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}}
]
Так как ( \sqrt{4} = 2 ), это можно записать как:
[
T_{\text{new}} = 2 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2T
]
Вывод
Таким образом, новый период колебаний груза на пружине с жесткостью в 4 раза меньше составит в 2 раза больше, чем период с первоначальной пружиной. То есть:
[
T_{\text{new}} = 2T
]
Ответ: Период колебаний груза увеличится в 2 раза.
