Реши графически систему уравнений: { � + 3 � = − 1 , 3 � + 7 � = 3. { x+3y=−1, 3x+7y=3. ​

Для решения системы уравнений графически, давайте сначала запишем уравнения:

1. \( x + 3y = -1 \)
2. \( 3x + 7y = 3 \)

Шаг 1: Преобразуйте каждое уравнение в вид \( y = mx + b \)

Это поможет нам построить графики.

Уравнение 1: \( x + 3y = -1 \)

Решим это уравнение относительно \( y \):

\[ 3y = -1 - x \] \[ y = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3}x \]

Теперь у нас есть уравнение в виде \( y = mx + b \), где \( m = -\frac{1}{3} \) и \( b = -\frac{1}{3} \).

Уравнение 2: \( 3x + 7y = 3 \)

Решим это уравнение тоже относительно \( y \):

\[ 7y = 3 - 3x \] \[ y = \frac{3}{7} - \frac{3}{7}x \]

Теперь у нас есть это уравнение в виде \( y = mx + b \), где \( m = -\frac{3}{7} \) и \( b = \frac{3}{7} \).

Шаг 2: Построим графики

Теперь нарисуем графики обоих уравнений на одной координатной плоскости.

• Для первого уравнения \( y = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3}x \):

  • Если \( x = 0 \), то \( y = -\frac{1}{3} \) (точка: \( (0, -\frac{1}{3}) \))
  • Если \( x = -3 \), то \( y = 0 \) (точка: \( (-3, 0) \))

• Для второго уравнения \( y = \frac{3}{7} - \frac{3}{7}x \):

  • Если \( x = 0 \), то \( y = \frac{3}{7} \) (точка: \( (0, \frac{3}{7}) \))
  • Если \( x = 7 \), то \( y = 0 \) (точка: \( (7, 0) \))

Шаг 3: Найдите точку пересечения

Теперь, когда мы построим обе линии, нам нужно найти их точку пересечения. Это будет решением нашей системы уравнений.

Шаг 4: Решение системы

Для нахождения точки пересечения мы можем решить систему уравнений алгебраически. Подставим одно уравнение в другое. Например, подставим \( y \) из первого уравнения во второе.

Подставляем \( y = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3}x \) во второе уравнение:

\[ 3x + 7\left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{3}x\right) = 3 \]

Упростим:

\[ 3x - \frac{7}{3} - \frac{7}{3}x = 3 \] \[ \left(3 - \frac{7}{3}\right)x - \frac{7}{3} = 3 \] \[ \frac{9}{3} - \frac{7}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{2}{3}x - \frac{7}{3} = 3 \]

Прибавим \(\frac{7}{3}\) к обеим сторонам:

\[ \frac{2}{3}x = 3 + \frac{7}{3} = \frac{9}{3} + \frac{7}{3} = \frac{16}{3} \]

Теперь умножим обе стороны на \(\frac{3}{2}\):

\[ x = \frac{16}{2} = 8 \]

Теперь найдем \(y\):

Подставляем \(x = 8\) в первое уравнение:

\[ y = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3}(8) = -\frac{1}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{9}{3} = -3 \]

Ответ

Таким образом, точка пересечения графиков (решение системы уравнений) — это \[ (x, y) = (8, -3) \]