45 корень 5 sin a, если cos a = -2корень 5/ 5
Чтобы найти значение \( \sin a \), зная, что \( \cos a = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \), нам нужно использовать основной тригонометрический идентичность:
\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]
Подставим значение \( \cos a \):
\[ \sin^2 a + \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 \]
Вычислим \( \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 \):
\[ \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{4 \cdot 5}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} \]
Теперь подставим это значение в уравнение:
\[ \sin^2 a + \frac{4}{5} = 1 \]
Решим уравнение для \( \sin^2 a \):
\[ \sin^2 a = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \]
Теперь найдём \( \sin a \):
\[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} \]
Знаем, что \( \cos a < 0 \), это означает, что угол \( a \) либо во втором, либо в третьем квадранте. В этих квадрантах синус положителен во втором и отрицателен в третьем.
Таким образом, если \( a \) находится во втором квадранте, то:
\[ \sin a = \frac{\sqrt{5}}{5} \]
Если \( a \) находится в третьем квадранте, то:
\[ \sin a = -\frac{\sqrt{5}}{5} \]
Теперь подставим полученное значение в выражение \( 45\sqrt{5} \sin a \):
Если \( \sin a = \frac{\sqrt{5}}{5} \): \[ 45\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = 45\frac{5}{5} = 45 \]
Если \( \sin a = -\frac{\sqrt{5}}{5} \): \[ 45\sqrt{5} \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -45 \]
Таким образом, итоговые результаты:
- \( 45 \) при \( a \) во втором квадранте.
- \( -45 \) при \( a \) в третьем квадранте.
