Чтобы найти значение ( \sin a ), зная, что ( \cos a = -\frac{2\sqrt{5}}{5} ), нам нужно использовать основной тригонометрический идентичность:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Подставим значение ( \cos a ):
[
\sin^2 a + \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1
]
Вычислим ( \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 ):
[
\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{4 \cdot 5}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
\sin^2 a + \frac{4}{5} = 1
]
Решим уравнение для ( \sin^2 a ):
[
\sin^2 a = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}
]
Теперь найдём ( \sin a ):
[
\sin a = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}
]
Знаем, что ( \cos a < 0 ), это означает, что угол ( a ) либо во втором, либо в третьем квадранте. В этих квадрантах синус положителен во втором и отрицателен в третьем.
Таким образом, если ( a ) находится во втором квадранте, то:
[
\sin a = \frac{\sqrt{5}}{5}
]
Если ( a ) находится в третьем квадранте, то:
[
\sin a = -\frac{\sqrt{5}}{5}
]
Теперь подставим полученное значение в выражение ( 45\sqrt{5} \sin a ):
Если ( \sin a = \frac{\sqrt{5}}{5} ):
[
45\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = 45\frac{5}{5} = 45
]
Если ( \sin a = -\frac{\sqrt{5}}{5} ):
[
45\sqrt{5} \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -45
]
Таким образом, итоговые результаты:
- ( 45 ) при ( a ) во втором квадранте.
- ( -45 ) при ( a ) в третьем квадранте.
