Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Дано:
- Длина изгороди ( P = 30 ) м (периметр).
- Площадь площадки ( S = 50 ) м².
Найти:
Размеры (длину и ширину) прямоугольной площадки.
Формулы:
Периметр прямоугольника:
[
P = 2(l + w)
]
где ( l ) — длина, ( w ) — ширина.
Площадь прямоугольника:
[
S = l \cdot w
]
Шаг 1: Выразим ширину через длину с помощью периметра
Сначала используем формулу для периметра и выразим одну из переменных (ширину ( w )) через другую (длину ( l )).
[
30 = 2(l + w)
]
Упростим уравнение:
[
15 = l + w \quad \Rightarrow \quad w = 15 - l
]
Шаг 2: Подставим в формулу площади
Теперь подставим найденное значение ( w ) в формулу площади:
[
S = l \cdot w \quad \Rightarrow \quad 50 = l \cdot (15 - l)
]
Шаг 3: Преобразуем уравнение
Раскроем скобки:
[
50 = 15l - l^2
]
Перепишем уравнение:
[
l^2 - 15l + 50 = 0
]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Чтобы найти корни этого уравнения, используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 225 - 200 = 25
]
Теперь найдем корни:
[
l = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 5}{2}
]
Таким образом, мы получаем два значения:
- ( l_1 = \frac{20}{2} = 10 ) м
- ( l_2 = \frac{10}{2} = 5 ) м
Шаг 5: Найдем ширину
Теперь подставим значения длины обратно в уравнение для ширины.
Если ( l = 10 ):
[
w = 15 - 10 = 5 \text{ м}
]
Если ( l = 5 ):
[
w = 15 - 5 = 10 \text{ м}
]
Ответ:
Размеры площадки: одна сторона — 10 м, другая — 5 м.
Таким образом, площадка имеет размеры 10 м на 5 м, что соответствует условиям задачи (периметр 30 м и площадь 50 м²).
