Вопрос от Анонимного юзера 01 февраля 2025 14:08

Question 1

Y=|x|x-|x|-2x постройте график функции;Определите ,при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки

Answer

Для решения данной задачи, сначала разберёмся с функцией ( y = |x|x - |x| - 2x ).

Шаг 1: Упрощение функции

Функция включает абсолютное значение, из-за чего её нужно рассматривать на двух отдельных интервалах — для положительных и отрицательных значений ( x ).

Для ( x \geq 0 ):
- ( |x| = x )
- Подставим в функцию: [ y = x^2 - x - 2x = x^2 - 3x ]
Для ( x < 0 ):
- ( |x| = -x ) (так как ( x ) отрицательно)
- Подставим в функцию: [ y = -x^2 + x - 2x = -x^2 - x ]

Теперь мы имеем две части функции: [ y = \begin{cases} x^2 - 3x, & x \geq 0 \ -x^2 - x, & x < 0 \end{cases} ]

Шаг 2: Построение графика функции

Для ( x \geq 0 ):

Найдем вершину параболы ( y = x^2 - 3x ).
- Вершина находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2} ).
Значение функции в этой точке: [ y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4} ]

Таким образом, в ( x = \frac{3}{2} ) значение функции минимально, и график этой частей параболы направлен вверх.

Для ( x < 0 ):

Найдем вершину параболы ( y = -x^2 - x ).
- Вершина находится в точке ( x = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} ), но для ( x < 0 ) эта вершина не интересна.
Заметим, что ветвь параболы направлена вниз, и значение убывает при уменьшении ( x ).

Шаг 3: Определение общего количества точек с прямой ( y = m )

Теперь определим, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) имеет ровно две общие точки с графиком функции.

Для ( x \geq 0 ), ( m = x^2 - 3x ):
- Парабола ( x^2 - 3x - m = 0 ) имеет два решения, если дискриминант больше 0: [ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 9 + 4m > 0 ] Это утверждение верно для ( m > -\frac{9}{4} ) (так как при ( m = -\frac{9}{4} ) и будет одна общая точка).
Для ( x < 0 ), ( m = -x^2 - x ):
- Парабола ( -x^2 - x - m = 0 ) имеет две решения, если дискриминант больше 0: [ D = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-m) = 1 - 4m > 0 ] Это утверждение верно при ( m < \frac{1}{4} ).

Шаг 4: Итоговые условия

Чтобы прямая ( y = m ) пересекала график функции ровно в двух точках, необходимо, чтобы:

( -\frac{9}{4} < m < \frac{1}{4} )

Таким образом, ответ на задачу: прямая ( y = m ) будет иметь ровно две общие точки с графиком функции при значениях: [ m \in \left(-\frac{9}{4}, \frac{1}{4}\right) ]

Шаг 5: Построение графика

Необходимо построить график функций ( y = x^2 - 3x ) для ( x \geq 0 ) и ( y = -x^2 - x ) для ( x < 0 ) и провести горизонтальные линии ( y = m ) для разных значений ( m ), чтобы проиллюстрировать, как меняется количество общих точек.

Если есть дополнительные вопросы или нужно обсудить другие аспекты, дайте знать!

Question 2

y=|x|x-|x|-2x постройте график функции;Определите ,при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки

Answer

Для решения данной задачи, сначала разберёмся с функцией \( y = |x|x - |x| - 2x \). ### Шаг 1: Упрощение функции Функция включает абсолютное значение, из-за чего её нужно рассматривать на двух отдельных интервалах — для положительных и отрицательных значений \( x \). 1. **Для \( x \geq 0 \)**: - \( |x| = x \) - Подставим в функцию: \[ y = x^2 - x - 2x = x^2 - 3x \] 2. **Для \( x < 0 \)**: - \( |x| = -x \) (так как \( x \) отрицательно) - Подставим в функцию: \[ y = -x^2 + x - 2x = -x^2 - x \] Теперь мы имеем две части функции: \[ y = \begin{cases} x^2 - 3x, & x \geq 0 \\ -x^2 - x, & x < 0 \end{cases} \] ### Шаг 2: Построение графика функции #### Для \( x \geq 0 \): 1. Найдем вершину параболы \( y = x^2 - 3x \). - Вершина находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2} \). 2. Значение функции в этой точке: \[ y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4} \] Таким образом, в \( x = \frac{3}{2} \) значение функции минимально, и график этой частей параболы направлен вверх. #### Для \( x < 0 \): 1. Найдем вершину параболы \( y = -x^2 - x \). - Вершина находится в точке \( x = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} \), но для \( x < 0 \) эта вершина не интересна. 2. Заметим, что ветвь параболы направлена вниз, и значение убывает при уменьшении \( x \). ### Шаг 3: Определение общего количества точек с прямой \( y = m \) Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции. 1. **Для \( x \geq 0 \)**, \( m = x^2 - 3x \): - Парабола \( x^2 - 3x - m = 0 \) имеет два решения, если дискриминант больше 0: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 9 + 4m > 0 \] Это утверждение верно для \( m > -\frac{9}{4} \) (так как при \( m = -\frac{9}{4} \) и будет одна общая точка). 2. **Для \( x < 0 \)**, \( m = -x^2 - x \): - Парабола \( -x^2 - x - m = 0 \) имеет две решения, если дискриминант больше 0: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-m) = 1 - 4m > 0 \] Это утверждение верно при \( m < \frac{1}{4} \). ### Шаг 4: Итоговые условия Чтобы прямая \( y = m \) пересекала график функции ровно в двух точках, необходимо, чтобы: - \( -\frac{9}{4} < m < \frac{1}{4} \) Таким образом, ответ на задачу: прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки с графиком функции при значениях: \[ m \in \left(-\frac{9}{4}, \frac{1}{4}\right) \] ### Шаг 5: Построение графика Необходимо построить график функций \( y = x^2 - 3x \) для \( x \geq 0 \) и \( y = -x^2 - x \) для \( x < 0 \) и провести горизонтальные линии \( y = m \) для разных значений \( m \), чтобы проиллюстрировать, как меняется количество общих точек. Если есть дополнительные вопросы или нужно обсудить другие аспекты, дайте знать!