y=|x|x-|x|-2x постройте график функции;Определите ,при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки

Для решения данной задачи, сначала разберёмся с функцией \( y = |x|x - |x| - 2x \).

Шаг 1: Упрощение функции

Функция включает абсолютное значение, из-за чего её нужно рассматривать на двух отдельных интервалах — для положительных и отрицательных значений \( x \).

1. Для \( x \geq 0 \):

   • \( |x| = x \)
   • Подставим в функцию: \[ y = x^2 - x - 2x = x^2 - 3x \]

2. Для \( x < 0 \):

   • \( |x| = -x \) (так как \( x \) отрицательно)
   • Подставим в функцию: \[ y = -x^2 + x - 2x = -x^2 - x \]

Теперь мы имеем две части функции: \[ y = \begin{cases} x^2 - 3x, & x \geq 0 \\ -x^2 - x, & x < 0 \end{cases} \]

Шаг 2: Построение графика функции

Для \( x \geq 0 \):

1. Найдем вершину параболы \( y = x^2 - 3x \).
   • Вершина находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2} \).
2. Значение функции в этой точке: \[ y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4} \]

Таким образом, в \( x = \frac{3}{2} \) значение функции минимально, и график этой частей параболы направлен вверх.

Для \( x < 0 \):

1. Найдем вершину параболы \( y = -x^2 - x \).
   • Вершина находится в точке \( x = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} \), но для \( x < 0 \) эта вершина не интересна.
2. Заметим, что ветвь параболы направлена вниз, и значение убывает при уменьшении \( x \).

Шаг 3: Определение общего количества точек с прямой \( y = m \)

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции.

1. Для \( x \geq 0 \), \( m = x^2 - 3x \):

   • Парабола \( x^2 - 3x - m = 0 \) имеет два решения, если дискриминант больше 0: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 9 + 4m > 0 \] Это утверждение верно для \( m > -\frac{9}{4} \) (так как при \( m = -\frac{9}{4} \) и будет одна общая точка).

2. Для \( x < 0 \), \( m = -x^2 - x \):

   • Парабола \( -x^2 - x - m = 0 \) имеет две решения, если дискриминант больше 0: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-m) = 1 - 4m > 0 \] Это утверждение верно при \( m < \frac{1}{4} \).

Шаг 4: Итоговые условия

Чтобы прямая \( y = m \) пересекала график функции ровно в двух точках, необходимо, чтобы:

• \( -\frac{9}{4} < m < \frac{1}{4} \)

Таким образом, ответ на задачу: прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки с графиком функции при значениях: \[ m \in \left(-\frac{9}{4}, \frac{1}{4}\right) \]

Шаг 5: Построение графика

Необходимо построить график функций \( y = x^2 - 3x \) для \( x \geq 0 \) и \( y = -x^2 - x \) для \( x < 0 \) и провести горизонтальные линии \( y = m \) для разных значений \( m \), чтобы проиллюстрировать, как меняется количество общих точек.

Если есть дополнительные вопросы или нужно обсудить другие аспекты, дайте знать!