Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним несколько важны теоретических понятий о прямоугольных треугольниках и использовании косинуса.
Косинус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. Если обозначим углы и катеты, используя следующую нотацию:
- Обозначим гипотенузу как ( c ) (в данном случае ( c = 20 ) см),
- Обозначим катет, который прилежит к углу с косинусом ( 0,8 ), как ( a ),
- Обозначим другой катет как ( b ).
Шаг 1: Найдем прилежащий катет ( a )
Можем использовать определение косинуса:
[
\cos(\theta) = \frac{a}{c}
]
где ( \theta ) — острый угол, косинус которого равен ( 0,8 ).
Подставим данные в формулу:
[
0,8 = \frac{a}{20}
]
Теперь выразим ( a ):
[
a = 20 \cdot 0,8
]
[
a = 16 \text{ см}
]
Шаг 2: Найдем противолежащий катет ( b )
Теперь, чтобы найти другой катет ( b ), мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставим известные значения:
[
20^2 = 16^2 + b^2
]
[
400 = 256 + b^2
]
Теперь выразим ( b^2 ):
[
b^2 = 400 - 256
]
[
b^2 = 144
]
Теперь найдем ( b ):
[
b = \sqrt{144}
]
[
b = 12 \text{ см}
]
Шаг 3: Итоговые результаты
Таким образом, мы нашли длины катетов:
- Прилежащий катет ( a = 16 ) см,
- Противолежащий катет ( b = 12 ) см.
Итак, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой в 20 см и косинусом одного из острых углов равным 0,8, катеты составляют 16 см и 12 см соответственно.
