Зависимость угла поворота колеса радиусом R = 0,5 м от времени даётся уравнением: = t3 + 2t2 + 5t − 4. Найти для точек на ободе колеса зависимость от времени: 1) угловой…
Зависимость угла поворота колеса радиусом R = 0,5 м от времени даётся уравнением: = t3 + 2t2 + 5t − 4. Найти для точек на ободе колеса зависимость от времени: 1) угловой скорости, 2) линейной скорости, 3) углового ускорения, 4) тангенциального ускорения, 5) нормального ускорения.
Для решения данной задачи по кинематике вращательного движения начнем с уравнения угла поворота колеса, заданного как:
\[ \varphi(t) = t^3 + 2t^2 + 5t - 4 \]
где \(t\) — это время, а \(\varphi\) — угол в радианах. Мы будем находить необходимые зависимости от времени: угловую скорость, линейную скорость, угловое ускорение, тангенциальное ускорение и нормальное ускорение.
1. Угловая скорость
Угловая скорость (\( \omega \)) — это производная угла поворота по времени. Для нахождения угловой скорости дифференцируем \(\varphi(t)\):
\[ \omega(t) = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 2t^2 + 5t - 4) = 3t^2 + 4t + 5 \]
2. Линейная скорость
Линейная скорость (\( v \)) на ободе колеса связана с угловой скоростью формулой:
\[ v = R \cdot \omega \]
где \( R = 0.5 \, \text{м} \) — радиус колеса. Подставляем \( \omega(t) \):
\[ v(t) = R \cdot \omega(t) = 0.5 \cdot (3t^2 + 4t + 5) \]
Упрощая, получаем:
\[ v(t) = 1.5t^2 + 2t + 2.5 \]
3. Угловое ускорение
Угловое ускорение (\( \alpha \)) — это производная угловой скорости по времени. Находим его, дифференцируя \(\omega(t)\):
\[ \alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 4t + 5) = 6t + 4 \]
4. Тангенциальное ускорение
Тангенциальное ускорение (\( a_t \)) — это произведение углового ускорения на радиус:
\[ a_t = R \cdot \alpha \]
Подставляем \( \alpha(t) \):
\[ a_t(t) = R \cdot (6t + 4) = 0.5 \cdot (6t + 4) = 3t + 2 \]
5. Нормальное ускорение
Нормальное ускорение (\( a_n \)) находит по формуле:
\[ a_n = R \cdot \omega^2 \]
Значит:
\[ a_n(t) = R \cdot \left(\omega(t)\right)^2 = 0.5 \cdot (3t^2 + 4t + 5)^2 \]
Теперь расчитаем это выражение:
\[ a_n(t) = 0.5 \cdot (9t^4 + 24t^3 + 46t^2 + 40t + 25) \]
После умножения получаем:
\[ a_n(t) = 4.5t^4 + 12t^3 + 23t^2 + 20t + 12.5 \]
Резюме
Теперь у нас есть все зависимости от времени для данного колеса:
Угловая скорость: \[ \omega(t) = 3t^2 + 4t + 5 \]
Линейная скорость: \[ v(t) = 1.5t^2 + 2t + 2.5 \]
Угловое ускорение: \[ \alpha(t) = 6t + 4 \]
Тангенциальное ускорение: \[ a_t(t) = 3t + 2 \]
Нормальное ускорение: \[ a_n(t) = 4.5t^4 + 12t^3 + 23t^2 + 20t + 12.5 \]
Таким образом, мы нашли все требуемые величины, и теперь можно увидеть, как они зависят от времени.
