Для решения данной задачи по кинематике вращательного движения начнем с уравнения угла поворота колеса, заданного как:
[
\varphi(t) = t^3 + 2t^2 + 5t - 4
]
где (t) — это время, а (\varphi) — угол в радианах. Мы будем находить необходимые зависимости от времени: угловую скорость, линейную скорость, угловое ускорение, тангенциальное ускорение и нормальное ускорение.
1. Угловая скорость
Угловая скорость (( \omega )) — это производная угла поворота по времени. Для нахождения угловой скорости дифференцируем (\varphi(t)):
[
\omega(t) = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 2t^2 + 5t - 4) = 3t^2 + 4t + 5
]
2. Линейная скорость
Линейная скорость (( v )) на ободе колеса связана с угловой скоростью формулой:
[
v = R \cdot \omega
]
где ( R = 0.5 , \text{м} ) — радиус колеса. Подставляем ( \omega(t) ):
[
v(t) = R \cdot \omega(t) = 0.5 \cdot (3t^2 + 4t + 5)
]
Упрощая, получаем:
[
v(t) = 1.5t^2 + 2t + 2.5
]
3. Угловое ускорение
Угловое ускорение (( \alpha )) — это производная угловой скорости по времени. Находим его, дифференцируя (\omega(t)):
[
\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 4t + 5) = 6t + 4
]
4. Тангенциальное ускорение
Тангенциальное ускорение (( a_t )) — это произведение углового ускорения на радиус:
[
a_t = R \cdot \alpha
]
Подставляем ( \alpha(t) ):
[
a_t(t) = R \cdot (6t + 4) = 0.5 \cdot (6t + 4) = 3t + 2
]
5. Нормальное ускорение
Нормальное ускорение (( a_n )) находит по формуле:
[
a_n = R \cdot \omega^2
]
Значит:
[
a_n(t) = R \cdot \left(\omega(t)\right)^2 = 0.5 \cdot (3t^2 + 4t + 5)^2
]
Теперь расчитаем это выражение:
[
a_n(t) = 0.5 \cdot (9t^4 + 24t^3 + 46t^2 + 40t + 25)
]
После умножения получаем:
[
a_n(t) = 4.5t^4 + 12t^3 + 23t^2 + 20t + 12.5
]
Резюме
Теперь у нас есть все зависимости от времени для данного колеса:
Угловая скорость:
[
\omega(t) = 3t^2 + 4t + 5
]
Линейная скорость:
[
v(t) = 1.5t^2 + 2t + 2.5
]
Угловое ускорение:
[
\alpha(t) = 6t + 4
]
Тангенциальное ускорение:
[
a_t(t) = 3t + 2
]
Нормальное ускорение:
[
a_n(t) = 4.5t^4 + 12t^3 + 23t^2 + 20t + 12.5
]
Таким образом, мы нашли все требуемые величины, и теперь можно увидеть, как они зависят от времени.
