Условие 1: В мешке 4 красных, 5 синих и 6 зеленых шара. Достают 2 шара. Какова вероятность, что оба шара будут одного цвета? Условие 2: Какова вероятность, что хотя бы один шар…

Чтобы решить задачу, давайте поочередно найдем ответы на оба условия.

Условие 1: Вероятность того, что оба шара будут одного цвета

Шаг 1: Определим общее количество шаров.

В мешке у нас:

• 4 красных шара
• 5 синих шаров
• 6 зеленых шаров

Общее количество шаров: \[ 4 + 5 + 6 = 15 \]

Шаг 2: Найдем общее количество способов достать 2 шара.

Это можно сделать через комбинаторику. Количество способов выбрать 2 шара из 15 может быть рассчитано по формуле сочетаний \( C(n, k) \): \[ C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \]

Шаг 3: Найдем количество способов, чтобы оба шара были одного цвета.

• Для красных: \[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]

• Для синих: \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

• Для зеленых: \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]

Теперь сложим все способы: \[ 6 \text{ (красные)} + 10 \text{ (синие)} + 15 \text{ (зеленые)} = 31 \]

Шаг 4: Найдем вероятность.

Вероятность того, что оба шара будут одного цвета, будет равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P(\text{оба одного цвета}) = \frac{31}{105} \]

Условие 2: Вероятность того, что хотя бы один шар будет красным

Шаг 1: Найдем вероятность противоположного события.

Противоположное событие — это ситуация, когда оба шара не красные, то есть они могут быть только синими или зелеными.

Шаг 2: Найдем количество синих и зеленых шаров.

У нас 5 синих и 6 зеленых: \[ 5 + 6 = 11 \]

Шаг 3: Найдем количество способов достать 2 шара только из синих и зеленых.

Общее количество способов выбрать 2 шара из 11: \[ C(11, 2) = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55 \]

Шаг 4: Вероятность того, что оба шара не красные.

Вероятность того, что оба шара не будут красными: \[ P(\text{оба не красные}) = \frac{55}{105} \]

Шаг 5: Вероятность того, что хотя бы один шар будет красным.

Чтобы найти вероятность того, что хотя бы один шар будет красным, мы можем воспользоваться законом дополнения: \[ P(\text{хотя бы один красный}) = 1 - P(\text{оба не красные}) \] \[ P(\text{хотя бы один красный}) = 1 - \frac{55}{105} = \frac{105 - 55}{105} = \frac{50}{105} \]

Ответы:

1. Вероятность того, что оба шара будут одного цвета: \( \frac{31}{105} \)
2. Вероятность того, что хотя бы один шар будет красным: \( \frac{50}{105} \)