Условие 1: В мешке 4 красных, 5 синих и 6 зеленых шара. Достают 2 шара. Какова вероятность, что оба шара будут одного цвета? Условие 2: Какова вероятность, что хотя бы один шар будет красным?

Чтобы решить задачу, давайте поочередно найдем ответы на оба условия. ### Условие 1: Вероятность того, что оба шара будут одного цвета **Шаг 1: Определим общее количество шаров.** В мешке у нас: - 4 красных шара - 5 синих шаров - 6 зеленых шаров Общее количество шаров: \[ 4 + 5 + 6 = 15 \] **Шаг 2: Найдем общее количество способов достать 2 шара.** Это можно сделать через комбинаторику. Количество способов выбрать 2 шара из 15 может быть рассчитано по формуле сочетаний \( C(n, k) \): \[ C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \] **Шаг 3: Найдем количество способов, чтобы оба шара были одного цвета.** - Для красных: \[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] - Для синих: \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] - Для зеленых: \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] Теперь сложим все способы: \[ 6 \text{ (красные)} + 10 \text{ (синие)} + 15 \text{ (зеленые)} = 31 \] **Шаг 4: Найдем вероятность.** Вероятность того, что оба шара будут одного цвета, будет равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P(\text{оба одного цвета}) = \frac{31}{105} \] ### Условие 2: Вероятность того, что хотя бы один шар будет красным **Шаг 1: Найдем вероятность противоположного события.** Противоположное событие — это ситуация, когда оба шара не красные, то есть они могут быть только синими или зелеными. **Шаг 2: Найдем количество синих и зеленых шаров.** У нас 5 синих и 6 зеленых: \[ 5 + 6 = 11 \] **Шаг 3: Найдем количество способов достать 2 шара только из синих и зеленых.** Общее количество способов выбрать 2 шара из 11: \[ C(11, 2) = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55 \] **Шаг 4: Вероятность того, что оба шара не красные.** Вероятность того, что оба шара не будут красными: \[ P(\text{оба не красные}) = \frac{55}{105} \] **Шаг 5: Вероятность того, что хотя бы один шар будет красным.** Чтобы найти вероятность того, что хотя бы один шар будет красным, мы можем воспользоваться законом дополнения: \[ P(\text{хотя бы один красный}) = 1 - P(\text{оба не красные}) \] \[ P(\text{хотя бы один красный}) = 1 - \frac{55}{105} = \frac{105 - 55}{105} = \frac{50}{105} \] ### Ответы: 1. Вероятность того, что оба шара будут одного цвета: \( \frac{31}{105} \) 2. Вероятность того, что хотя бы один шар будет красным: \( \frac{50}{105} \)