Найди скалярное произведение m → − 2 n → m −2 n и m → m , если ∣ m → ∣ = 3 ∣ m ∣=3 , ∣ n → ∣ = 5 ∣ n ∣=5 , m → n → ^ = 60 ° m n =60° .

Чтобы найти скалярное произведение вектора \( \mathbf{m} - 2\mathbf{n} \) и вектора \( \mathbf{m} \), нам нужно воспользоваться свойствами скалярного произведения и некоторыми формулами.

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) можно выразить через их длины и угол между ними:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \]

где \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины векторов, а \( \theta \) — угол между ними.

Теперь найдем скалярное произведение \( \mathbf{m} - 2\mathbf{n} \) и \( \mathbf{m} \):

\[ (\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m} = \mathbf{m} \cdot \mathbf{m} - 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{m}) \]

Теперь найдем каждое из этих произведений.

1. Скалярное произведение \( \mathbf{m} \cdot \mathbf{m} \): Скалярное произведение вектора самого на себя — это квадрат его длины: \[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{m} = |\mathbf{m}|^2 = 3^2 = 9 \]

2. Скалярное произведение \( \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} \): Используя формулу, найдем \( \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} \): \[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = |\mathbf{n}| |\mathbf{m}| \cos(\theta) = 5 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) \] Поскольку \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \): \[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 7.5 \]

Теперь подставим найденные значения в выражение для \( (\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m} \):

\[ (\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m} = 9 - 2 \cdot 7.5 = 9 - 15 = -6 \]

Таким образом, скалярное произведение \( \mathbf{m} - 2\mathbf{n} \) и \( \mathbf{m} \) равно:

\[ \boxed{-6} \]