Чтобы найти скалярное произведение вектора ( \mathbf{m} - 2\mathbf{n} ) и вектора ( \mathbf{m} ), нам нужно воспользоваться свойствами скалярного произведения и некоторыми формулами.
Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) можно выразить через их длины и угол между ними:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)
]
где ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — длины векторов, а ( \theta ) — угол между ними.
Теперь найдем скалярное произведение ( \mathbf{m} - 2\mathbf{n} ) и ( \mathbf{m} ):
[
(\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m} = \mathbf{m} \cdot \mathbf{m} - 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{m})
]
Теперь найдем каждое из этих произведений.
Скалярное произведение ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{m} ):
Скалярное произведение вектора самого на себя — это квадрат его длины:
[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{m} = |\mathbf{m}|^2 = 3^2 = 9
]
Скалярное произведение ( \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} ):
Используя формулу, найдем ( \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} ):
[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = |\mathbf{n}| |\mathbf{m}| \cos(\theta) = 5 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ)
]
Поскольку ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ):
[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 7.5
]
Теперь подставим найденные значения в выражение для ( (\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m} ):
[
(\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m} = 9 - 2 \cdot 7.5 = 9 - 15 = -6
]
Таким образом, скалярное произведение ( \mathbf{m} - 2\mathbf{n} ) и ( \mathbf{m} ) равно:
[
\boxed{-6}
]
