Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их квадратов равна 180 градусов
Решим задачу шаг за шагом.
Обозначим числа. Пусть два положительных числа обозначим как \( x \) и \( y \), где \( x > y \).
Сформулируем условия задачи.
- По условию, сумма двух чисел в 5 раз больше их разности: \[ x + y = 5(x - y) \]
- Известно, что разность их квадратов равна 180 градусов: \[ x^2 - y^2 = 180 \]
Решим первое уравнение. \[ x + y = 5(x - y) \] Раскроем правую часть уравнения: \[ x + y = 5x - 5y \] Переносим все \( x \) и \( y \) на одну сторону: \[ x + y - 5x + 5y = 0 \] Объединяем подобные: \[ -4x + 6y = 0 \] Упростим уравнение: \[ 4x = 6y \] Разделим обе стороны на 2: \[ 2x = 3y \quad \text{или} \quad x = \frac{3}{2}y \]
Подставим \( x \) во второе уравнение. Подставим \( x = \frac{3}{2}y \) в уравнение \( x^2 - y^2 = 180 \): \[ \left(\frac{3}{2}y\right)^2 - y^2 = 180 \] Посчитаем \( \left(\frac{3}{2}y\right)^2 \): \[ \frac{9}{4}y^2 - y^2 = 180 \] Приведем \( y^2 \) к общему знаменателю: \[ \frac{9}{4}y^2 - \frac{4}{4}y^2 = 180 \] Упрощаем: \[ \frac{5}{4}y^2 = 180 \] Умножим обе стороны на 4: \[ 5y^2 = 720 \] Разделим на 5: \[ y^2 = 144 \] Извлекаем корень: \[ y = 12 \]
Находим \( x \). Подставим \( y \) в выражение для \( x \): \[ x = \frac{3}{2}y = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18 \]
Ответ. Таким образом, найденные числа: \[ x = 18, \quad y = 12 \]
Проверка.
- Сумма: \( 18 + 12 = 30 \)
- Разность: \( 18 - 12 = 6 \)
- Проверяем условие: \( 30 = 5 \cdot 6 \) (верно).
- Разность квадратов: \( 18^2 - 12^2 = 324 - 144 = 180 \) (верно).
Итак, искомые числа 18 и 12.
