Чтобы разложить многочлен ( 15a^2 - 20ab + 12ab - 16b^2 ) на множители, будем следовать следующему плану:
- Упростить и собрать похожие члены.
- Выделить общий множитель.
- Применить методы разложения, такие как группировка.
Шаг 1: Упрощение
Сначала объединим похожие члены:
[
15a^2 + (-20ab + 12ab) - 16b^2
]
[
= 15a^2 - 8ab - 16b^2
]
Шаг 2: Группировка
Теперь мы можем попробовать разложить это выражение при помощи группировки. Для начала разделим многочлен на две группы:
[
(15a^2 - 8ab) + (-16b^2)
]
Теперь из первой группы выведем общий множитель (8ab):
[
= a(15a - 8b) - 16b^2
]
Шаг 3: Полная группировка
Попробуем разложить посредством группы:
Приведём ко всем членам общий множитель:
[
= a(15a - 8b) - 16( b^2)
]
Теперь можно попытаться разложить (15a - 8b) и (16b^2).
Мы можем разложить и переписать это как произведение:
[
= (3a - 4b)(5a + 4b)
]
Таким образом, многочлен (15a^2 - 20ab + 12ab - 16b^2) можно разложить на множители так:
[
(3a - 4b)(5a + 4b)
]
Проверка
Проверим, верно ли мы разложили:
[
(3a - 4b)(5a + 4b) = 3a \cdot 5a + 3a \cdot 4b - 4b \cdot 5a - 4b \cdot 4b
]
[
= 15a^2 + 12ab - 20ab - 16b^2 = 15a^2 - 8ab - 16b^2
]
Многочлен равен исходному, значит, всё сделано правильно.
Ответ
Итак, разложение многочлена (15a^2 - 20ab + 12ab - 16b^2) на множители:
[
(3a - 4b)(5a + 4b)
]
