Давайте решим задачу о вероятности выбора фальшивой монеты.
Дано:
- Всего монет: 124
- Фальшивых монет: 1
- Монет, которые мы будем выбирать: 2
Цель:
Найти вероятность того, что одна из выбранных монет будет фальшивой.
Шаг 1: Находим общее количество способов выбрать две монеты
Мы можем выбрать 2 монеты из 124 монет "по сочетаниям", что обозначается как ( C(n, k) ), где ( n ) — общее количество объектов, а ( k ) — количество выбираемых объектов.
Формула для сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
В нашем случае:
[
C(124, 2) = \frac{124!}{2!(124-2)!} = \frac{124 \times 123}{2 \times 1} = 7626
]
Шаг 2: Находим количество способов выбрать две монеты, среди которых одна — фальшивая
Для этого мы можем выбрать фальшивую монету (1 способ) и одну из 123 настоящих монет. Таким образом, количество способов выбрать 1 фальшивую и 1 настоящую монету:
[
C(1, 1) \times C(123, 1) = 1 \times 123 = 123
]
Шаг 3: Вычисляем вероятность
Теперь мы можем найти вероятность того, что одна из выбранных монет фальшивая. Вероятность ( P ) рассчитывается как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:
[
P(\text{фальшивая монета}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{123}{7626}
]
Шаг 4: Упрощение
Теперь нам нужно упростить дробь:
[
P(\text{фальшивая монета}) = \frac{123}{7626} = \frac{1}{62}
]
Ответ:
Вероятность того, что при случайном выборе двух монет одна из них будет фальшивой, равна ( \frac{1}{62} ).
