составь задачу на геометрическую прогрессию с использованием научного факта
Вот пример задачи на геометрическую прогрессию, основанной на научном факте.
Задача:
В 1986 году произошло известное событие – Чернобыльская катастрофа. После аварии в районе ЧАЭС уровень радиации был очень высоким. На первый год (1986) уровень радиации можно считать равным 1000 мкР/ч. Ученые установили, что уровень радиации уменьшался в 2 раза каждый год.
- Какой уровень радиации будет через 5 лет после катастрофы (в 1991 году)?
- Составьте формулу, описывающую уровень радиации через n лет после катастрофы.
- На каком году уровень радиации станет ниже 50 мкР/ч?
Решение:
- Определяем уровень радиации через 5 лет.
Начальный уровень радиации: \( a_1 = 1000 \) мкР/ч.
Поскольку уровень радиации уменьшается в 2 раза каждый год, мы можем выразить уровень радиации каждого следующего года как:
\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]
где \( q = \frac{1}{2} \) (количество раз, на которое уменьшается уровень радиации).
Подставляем значения:
\[ a_5 = 1000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5-1} = 1000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \]
Теперь расчет:
\[ a_5 = 1000 \cdot \frac{1}{16} = 62.5 \text{ мкР/ч} \]
Ответ: через 5 лет уровень радиации будет 62.5 мкР/ч.
- Составляем формулу для уровня радиации через n лет:
Формула, описывающая уровень радиации через \( n \) лет, будет выглядеть следующим образом:
\[ a_n = 1000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]
- Находим, когда уровень радиации станет ниже 50 мкР/ч:
Решим неравенство:
\[ 1000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 50 \]
Разделим обе стороны на 1000:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.05 \]
Применим логарифм:
\[ n - 1 > \log_{0.5}(0.05) \]
Используя свойства логарифмов, решаем:
\[ n - 1 > \frac{\log(0.05)}{\log(0.5)} \]
Считаем логарифмы (при необходимости можно использовать калькулятор):
\( \log(0.05) \approx -1.301 \) и \( \log(0.5) \approx -0.301 \).
Подставляем:
\[ n - 1 > \frac{-1.301}{-0.301} \approx 4.32 \]
Следовательно:
\[ n > 5.32 \]
Это значит, что радиация станет ниже 50 мкР/ч в 6-й год после катастрофы, то есть в 1992 году.
Ответ: уровень радиации станет ниже 50 мкР/ч в 1992 году.
