Составь задачу на геометрическую прогрессию с использованием научного факта

Вот пример задачи на геометрическую прогрессию, основанной на научном факте. **Задача:** В 1986 году произошло известное событие – Чернобыльская катастрофа. После аварии в районе ЧАЭС уровень радиации был очень высоким. На первый год (1986) уровень радиации можно считать равным 1000 мкР/ч. Ученые установили, что уровень радиации уменьшался в 2 раза каждый год. 1. Какой уровень радиации будет через 5 лет после катастрофы (в 1991 году)? 2. Составьте формулу, описывающую уровень радиации через n лет после катастрофы. 3. На каком году уровень радиации станет ниже 50 мкР/ч? **Решение:** 1. Определяем уровень радиации через 5 лет. Начальный уровень радиации: \( a_1 = 1000 \) мкР/ч. Поскольку уровень радиации уменьшается в 2 раза каждый год, мы можем выразить уровень радиации каждого следующего года как: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \] где \( q = \frac{1}{2} \) (количество раз, на которое уменьшается уровень радиации). Подставляем значения: \[ a_5 = 1000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5-1} = 1000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \] Теперь расчет: \[ a_5 = 1000 \cdot \frac{1}{16} = 62.5 \text{ мкР/ч} \] Ответ: через 5 лет уровень радиации будет 62.5 мкР/ч. 2. Составляем формулу для уровня радиации через n лет: Формула, описывающая уровень радиации через \( n \) лет, будет выглядеть следующим образом: \[ a_n = 1000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] 3. Находим, когда уровень радиации станет ниже 50 мкР/ч: Решим неравенство: \[ 1000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 50 \] Разделим обе стороны на 1000: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.05 \] Применим логарифм: \[ n - 1 > \log_{0.5}(0.05) \] Используя свойства логарифмов, решаем: \[ n - 1 > \frac{\log(0.05)}{\log(0.5)} \] Считаем логарифмы (при необходимости можно использовать калькулятор): \( \log(0.05) \approx -1.301 \) и \( \log(0.5) \approx -0.301 \). Подставляем: \[ n - 1 > \frac{-1.301}{-0.301} \approx 4.32 \] Следовательно: \[ n > 5.32 \] Это значит, что радиация станет ниже 50 мкР/ч в 6-й год после катастрофы, то есть в 1992 году. Ответ: уровень радиации станет ниже 50 мкР/ч в 1992 году.