Для решения данной задачи давайте обозначим концентрации растворов и количество кислоты в каждом из них.
Обозначим:
- ( x ) — количество кислоты в первом растворе (24 кг),
- ( y ) — количество кислоты во втором растворе (26 кг).
Также обозначим:
- ( p_1 ) — концентрация первого раствора,
- ( p_2 ) — концентрация второго раствора.
Шаг 1: Условие первого раствора
Когда оба раствора сливаются, получаем раствор массой ( 24 + 26 = 50 ) кг раствора с 39% концентрацией кислоты. Тогда количество кислоты в этом растворе можно записать как:
[
\frac{x + y}{50} = 0.39
]
Умножим обе стороны на 50:
[
x + y = 0.39 \times 50 = 19.5 \quad \text{(Уравнение 1)}
]
Шаг 2: Условие второго раствора
Когда сливаются равные массы этих растворов, то масса каждого из них будет ( m ), причем ( m ) не превышает ни 24, ни 26. Если мы обозначим массу, которую мы смешиваем, как ( m ), тогда мы можем написать:
- Для первого раствора: масса 24 кг, значит толщина раствора будет ( \frac{mx}{24} = \text{концентрация} )
- Для второго раствора: масса 26 кг
Так как сообщается, что полученный раствор содержит 40% кислоты, мы можем записать это как:
[
\frac{\frac{m}{24}x + \frac{m}{26}y}{m + m} = 0.4
]
Упрощая:
[
\frac{mx}{24} + \frac{my}{26} = 0.8m
]
Убираем ( m ) из обоих сторон (при условии, что ( m \neq 0 )):
[
\frac{x}{24} + \frac{y}{26} = 0.8 \quad \text{(Уравнение 2)}
]
Шаг 3: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( x + y = 19.5 )
- ( \frac{x}{24} + \frac{y}{26} = 0.8 )
Сначала выразим ( y ) из первого уравнения:
[
y = 19.5 - x
]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
[
\frac{x}{24} + \frac{19.5 - x}{26} = 0.8
]
Умножим все на 624 (наименьшее общее кратное 24 и 26):
[
26x + 24(19.5 - x) = 0.8 \cdot 624
]
Выразим правую часть:
[
26x + 468 - 24x = 499.2
]
Соберем ( x ) и подберем значение:
[
2x + 468 = 499.2
]
[
2x = 499.2 - 468
]
[
2x = 31.2
]
[
x = 15.6
]
Теперь найдем ( y ):
[
y = 19.5 - 15.6 = 3.9
]
Ответ
Таким образом, количество кислоты в первом растворе составляет 15.6 кг, а во втором — 3.9 кг.
