решите уравнение (2х-1)(х²+2х+1)=2х²+2х
Чтобы решить уравнение \( (2x - 1)(x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2x \), давайте разберем его шаг за шагом.
Шаг 1: Раскроем скобки
Сначала раскроем левую часть уравнения:
\[ (2x - 1)(x^2 + 2x + 1) = 2x(x^2 + 2x + 1) - 1(x^2 + 2x + 1) \]
Теперь раскроем каждую часть:
- \( 2x(x^2 + 2x + 1) = 2x^3 + 4x^2 + 2x \)
- \( -1(x^2 + 2x + 1) = -x^2 - 2x - 1 \)
Теперь соединим результаты:
\[ 2x^3 + 4x^2 + 2x - x^2 - 2x - 1 = 2x^3 + (4x^2 - x^2) + (2x - 2x) - 1 = 2x^3 + 3x^2 - 1 \]
Шаг 2: Сравним с правой частью уравнения
Теперь приравняем к правой части уравнения:
\[ 2x^3 + 3x^2 - 1 = 2x^2 + 2x \]
Шаг 3: Приведем всё к одной стороне
Переносим все элементы на одну сторону уравнения:
\[ 2x^3 + 3x^2 - 1 - 2x^2 - 2x = 0 \]
Это преобразуется в:
\[ 2x^3 + (3x^2 - 2x^2) - 2x - 1 = 0 \]
Получаем:
\[ 2x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0 \]
Шаг 4: Найдем корни уравнения
Теперь нам нужно решить кубическое уравнение \( 2x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0 \).
Можно попробовать угадать корень с помощью подбора. Проверяем значения \( x = 1 \):
\[ 2(1)^3 + (1)^2 - 2(1) - 1 = 2 + 1 - 2 - 1 = 0 \]
Поскольку \( x = 1 \) является корнем, мы можем использовать деление многочлена для дальнейшего разложения.
Шаг 5: Деление многочлена
Разделим \( 2x^3 + x^2 - 2x - 1 \) на \( x - 1 \). Используем схему Горнера или стандартное деление многочленов. После деления мы получаем:
\[ 2x^2 + 3 \]
Таким образом, уравнение можно записать как:
\[ (x - 1)(2x^2 + 3) = 0 \]
Шаг 6: Решение оставшегося уравнения
Теперь у нас есть два множителя:
- \( x - 1 = 0 \) , отсюда \( x = 1 \)
- \( 2x^2 + 3 = 0 \)
Рассмотрим \( 2x^2 + 3 = 0 \):
\[ 2x^2 = -3 \Rightarrow x^2 = -\frac{3}{2} \]
Так как \( x^2 \) не может быть отрицательным в действительных числах, это уравнение не имеет действительных корней.
Итог
Таким образом, единственный действительный корень нашего исходного уравнения:
\[ x = 1 \]
