Решите уравнение (2х-1)(х²+2х+1)=2х²+2х

Чтобы решить уравнение \( (2x - 1)(x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2x \), давайте разберем его шаг за шагом. ### Шаг 1: Раскроем скобки Сначала раскроем левую часть уравнения: \[ (2x - 1)(x^2 + 2x + 1) = 2x(x^2 + 2x + 1) - 1(x^2 + 2x + 1) \] Теперь раскроем каждую часть: 1. \( 2x(x^2 + 2x + 1) = 2x^3 + 4x^2 + 2x \) 2. \( -1(x^2 + 2x + 1) = -x^2 - 2x - 1 \) Теперь соединим результаты: \[ 2x^3 + 4x^2 + 2x - x^2 - 2x - 1 = 2x^3 + (4x^2 - x^2) + (2x - 2x) - 1 = 2x^3 + 3x^2 - 1 \] ### Шаг 2: Сравним с правой частью уравнения Теперь приравняем к правой части уравнения: \[ 2x^3 + 3x^2 - 1 = 2x^2 + 2x \] ### Шаг 3: Приведем всё к одной стороне Переносим все элементы на одну сторону уравнения: \[ 2x^3 + 3x^2 - 1 - 2x^2 - 2x = 0 \] Это преобразуется в: \[ 2x^3 + (3x^2 - 2x^2) - 2x - 1 = 0 \] Получаем: \[ 2x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0 \] ### Шаг 4: Найдем корни уравнения Теперь нам нужно решить кубическое уравнение \( 2x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0 \). Можно попробовать угадать корень с помощью подбора. Проверяем значения \( x = 1 \): \[ 2(1)^3 + (1)^2 - 2(1) - 1 = 2 + 1 - 2 - 1 = 0 \] Поскольку \( x = 1 \) является корнем, мы можем использовать деление многочлена для дальнейшего разложения. ### Шаг 5: Деление многочлена Разделим \( 2x^3 + x^2 - 2x - 1 \) на \( x - 1 \). Используем схему Горнера или стандартное деление многочленов. После деления мы получаем: \[ 2x^2 + 3 \] Таким образом, уравнение можно записать как: \[ (x - 1)(2x^2 + 3) = 0 \] ### Шаг 6: Решение оставшегося уравнения Теперь у нас есть два множителя: 1. \( x - 1 = 0 \) , отсюда \( x = 1 \) 2. \( 2x^2 + 3 = 0 \) Рассмотрим \( 2x^2 + 3 = 0 \): \[ 2x^2 = -3 \Rightarrow x^2 = -\frac{3}{2} \] Так как \( x^2 \) не может быть отрицательным в действительных числах, это уравнение не имеет действительных корней. ### Итог Таким образом, единственный действительный корень нашего исходного уравнения: \[ x = 1 \]