В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB внешний угол при вершине B равен 150° ;AC+AB=42см. Найти длину гипотенузы треугольника
Чтобы решить задачу, давайте начнем с анализирования данных в ней.
Мы знаем, что:
- ABC — это прямоугольный треугольник, где угол C равен 90°.
- Внешний угол при вершине B равен 150°. Внутренний угол B тогда будет равен 180° - 150° = 30° (так как внутренний и внешний углы в сумме дают 180°).
- AC + AB = 42 см.
Теперь обозначим:
- Длину катета AC — через \( a \).
- Длину катета BC — через \( b \).
- Длину гипотенузы AB — через \( c \).
Из свойств прямоугольного треугольника, мы знаем, что:
- Угол A будет равен \( 90° - 30° = 60° \).
- Соотношения между сторонами треугольника можно выразить через синусы и косинусы:
\[ \frac{a}{c} = \sin(B) = \sin(30°) = \frac{1}{2} \quad(1) \] \[ \frac{b}{c} = \sin(A) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad(2) \]
Также у нас есть дополнительное уравнение:
\[ a + c = 42 \quad(3) \]
Теперь выразим \( a \) и \( b \) через \( c \).
Из уравнения (1): \[ a = \frac{c}{2} \]
Из уравнения (2): \[ b = \frac{\sqrt{3}}{2}c \]
Теперь подставим \( a \) из (1) в (3):
\[ \frac{c}{2} + c = 42 \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{c + 2c}{2} = 42 \]
Это упростится до:
\[ \frac{3c}{2} = 42 \]
Умножаем обе стороны на 2:
\[ 3c = 84 \]
Теперь делим на 3:
\[ c = 28 \text{ см} \]
Итак, длина гипотенузы \( AB \) равна 28 см.
Ответ:
Длина гипотенузы AB равна 28 см.
