Чтобы решить задачу, давайте начнем с анализирования данных в ней.
Мы знаем, что:
- ABC — это прямоугольный треугольник, где угол C равен 90°.
- Внешний угол при вершине B равен 150°. Внутренний угол B тогда будет равен 180° - 150° = 30° (так как внутренний и внешний углы в сумме дают 180°).
- AC + AB = 42 см.
Теперь обозначим:
- Длину катета AC — через ( a ).
- Длину катета BC — через ( b ).
- Длину гипотенузы AB — через ( c ).
Из свойств прямоугольного треугольника, мы знаем, что:
- Угол A будет равен ( 90° - 30° = 60° ).
- Соотношения между сторонами треугольника можно выразить через синусы и косинусы:
[
\frac{a}{c} = \sin(B) = \sin(30°) = \frac{1}{2} \quad(1)
]
[
\frac{b}{c} = \sin(A) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad(2)
]
Также у нас есть дополнительное уравнение:
[
a + c = 42 \quad(3)
]
Теперь выразим ( a ) и ( b ) через ( c ).
Из уравнения (1):
[
a = \frac{c}{2}
]
Из уравнения (2):
[
b = \frac{\sqrt{3}}{2}c
]
Теперь подставим ( a ) из (1) в (3):
[
\frac{c}{2} + c = 42
]
Приведем к общему знаменателю:
[
\frac{c + 2c}{2} = 42
]
Это упростится до:
[
\frac{3c}{2} = 42
]
Умножаем обе стороны на 2:
[
3c = 84
]
Теперь делим на 3:
[
c = 28 \text{ см}
]
Итак, длина гипотенузы ( AB ) равна 28 см.
Ответ:
Длина гипотенузы AB равна 28 см.
