Для функции y = 15/(5x - 9) + 2/(x ^ 2) найдите ту первообразную, график которой проходит через точку А(2; -7).
Давайте найдем первообразную функции \( y = \frac{15}{5x - 9} + \frac{2}{x^2} \) и затем определим константу интегрирования так, чтобы график этой функции проходил через точку \( A(2; -7) \).
Шаг 1: Интегрирование функции
Рассмотрим функцию по частям:
- \( \frac{15}{5x - 9} \)
- \( \frac{2}{x^2} \)
Интегрирование первой части: \( \frac{15}{5x - 9} \)
Для интеграции этой функции используем замену переменной. Обозначим \( u = 5x - 9 \). Тогда \( du = 5 \, dx \), откуда \( dx = \frac{du}{5} \).
Теперь подставим это в интеграл: \[ \int \frac{15}{5x - 9} \, dx = \int \frac{15}{u} \cdot \frac{du}{5} = 3 \int \frac{1}{u} \, du = 3 \ln |u| + C_1 = 3 \ln |5x - 9| + C_1 \]
Интегрирование второй части: \( \frac{2}{x^2} \)
Интегрируем: \[ \int \frac{2}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2\left( -x^{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 \]
Шаг 2: Сложение интегралов
Теперь сложим оба результата: \[ \int y \, dx = 3 \ln |5x - 9| - \frac{2}{x} + C \]
где \( C \) — это общее постоянное, которые объединили \( C_1 \) и \( C_2 \).
Шаг 3: Определение константы интегрирования \( C \)
Теперь нам нужно найти \( C \), чтобы график первообразной проходил через точку \( A(2; -7) \). Подставим \( x = 2 \) и \( y = -7 \) в уравнение первообразной: \[ -7 = 3 \ln |5(2) - 9| - \frac{2}{2} + C \] \[ -7 = 3 \ln |10 - 9| - 1 + C \] \[ -7 = 3 \ln |1| - 1 + C \] Поскольку \( \ln(1) = 0 \), у нас остается: \[ -7 = 0 - 1 + C \] \[ C = -7 + 1 = -6 \]
Шаг 4: Записываем окончательную первообразную
Теперь мы можем подставить найденное значение \( C \) в уравнение первообразной: \[ \int y \, dx = 3 \ln |5x - 9| - \frac{2}{x} - 6 \]
Ответ
Таким образом, первообразная функции \( y = \frac{15}{5x - 9} + \frac{2}{x^2} \), график которой проходит через точку \( A(2; -7) \), имеет вид: \[ \int y \, dx = 3 \ln |5x - 9| - \frac{2}{x} - 6 \]
