Давайте найдем первообразную функции ( y = \frac{15}{5x - 9} + \frac{2}{x^2} ) и затем определим константу интегрирования так, чтобы график этой функции проходил через точку ( A(2; -7) ).
Шаг 1: Интегрирование функции
Рассмотрим функцию по частям:
- ( \frac{15}{5x - 9} )
- ( \frac{2}{x^2} )
Интегрирование первой части: ( \frac{15}{5x - 9} )
Для интеграции этой функции используем замену переменной. Обозначим ( u = 5x - 9 ). Тогда ( du = 5 , dx ), откуда ( dx = \frac{du}{5} ).
Теперь подставим это в интеграл:
[
\int \frac{15}{5x - 9} , dx = \int \frac{15}{u} \cdot \frac{du}{5} = 3 \int \frac{1}{u} , du = 3 \ln |u| + C_1 = 3 \ln |5x - 9| + C_1
]
Интегрирование второй части: ( \frac{2}{x^2} )
Интегрируем:
[
\int \frac{2}{x^2} , dx = 2 \int x^{-2} , dx = 2\left( -x^{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2
]
Шаг 2: Сложение интегралов
Теперь сложим оба результата:
[
\int y , dx = 3 \ln |5x - 9| - \frac{2}{x} + C
]
где ( C ) — это общее постоянное, которые объединили ( C_1 ) и ( C_2 ).
Шаг 3: Определение константы интегрирования ( C )
Теперь нам нужно найти ( C ), чтобы график первообразной проходил через точку ( A(2; -7) ). Подставим ( x = 2 ) и ( y = -7 ) в уравнение первообразной:
[
-7 = 3 \ln |5(2) - 9| - \frac{2}{2} + C
]
[
-7 = 3 \ln |10 - 9| - 1 + C
]
[
-7 = 3 \ln |1| - 1 + C
]
Поскольку ( \ln(1) = 0 ), у нас остается:
[
-7 = 0 - 1 + C
]
[
C = -7 + 1 = -6
]
Шаг 4: Записываем окончательную первообразную
Теперь мы можем подставить найденное значение ( C ) в уравнение первообразной:
[
\int y , dx = 3 \ln |5x - 9| - \frac{2}{x} - 6
]
Ответ
Таким образом, первообразная функции ( y = \frac{15}{5x - 9} + \frac{2}{x^2} ), график которой проходит через точку ( A(2; -7) ), имеет вид:
[
\int y , dx = 3 \ln |5x - 9| - \frac{2}{x} - 6
]
