3x⁴-5x²+2=0

Решим уравнение \(3x^4 - 5x^2 + 2 = 0\) шаг за шагом. ### Шаг 1: Подмена переменной Заметим, что у нас есть \(x^4\) и \(x^2\). Чтобы упростить уравнение, сделаем подмену переменной. Обозначим: \[ y = x^2 \] Тогда \(x^4 = (x^2)^2 = y^2\). Теперь мы можем переписать уравнение как: \[ 3y^2 - 5y + 2 = 0 \] ### Шаг 2: Решение квадратного уравнения Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем его решить с помощью дискриминанта. В общем виде квадратное уравнение имеет форму: \[ ay^2 + by + c = 0 \] Где: - \(a = 3\), - \(b = -5\), - \(c = 2\). Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] Подставим наши значения: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \] ### Шаг 3: Находим корни уравнения Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Корни находятся по формуле: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим наши значения: \[ y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] ### Шаг 4: Восстановление переменной \(x\) Теперь вернемся к переменной \(x\): 1. **Первый корень:** \(y_1 = 1\) \[ x^2 = 1 \] Из этого получаем: \[ x = \pm 1 \] 2. **Второй корень:** \(y_2 = \frac{2}{3}\) \[ x^2 = \frac{2}{3} \] Следовательно, \[ x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \] ### Шаг 5: Итоговый ответ Таким образом, уравнение \(3x^4 - 5x^2 + 2 = 0\) имеет следующие корни: \[ x = 1, \; x = -1, \; x = \frac{\sqrt{6}}{3}, \; x = -\frac{\sqrt{6}}{3} \] Надеюсь, это объяснение помогло вам понять процесс решения уравнения! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!