3x⁴-5x²+2=0
Решим уравнение \(3x^4 - 5x^2 + 2 = 0\) шаг за шагом.
Шаг 1: Подмена переменной
Заметим, что у нас есть \(x^4\) и \(x^2\). Чтобы упростить уравнение, сделаем подмену переменной. Обозначим:
\[ y = x^2 \]
Тогда \(x^4 = (x^2)^2 = y^2\). Теперь мы можем переписать уравнение как:
\[ 3y^2 - 5y + 2 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем его решить с помощью дискриминанта. В общем виде квадратное уравнение имеет форму:
\[ ay^2 + by + c = 0 \]
Где:
- \(a = 3\),
- \(b = -5\),
- \(c = 2\).
Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставим наши значения:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \]
Шаг 3: Находим корни уравнения
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Корни находятся по формуле:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим наши значения:
\[ y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
\[ y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Шаг 4: Восстановление переменной \(x\)
Теперь вернемся к переменной \(x\):
- Первый корень: \(y_1 = 1\)
\[ x^2 = 1 \]
Из этого получаем:
\[ x = \pm 1 \]
- Второй корень: \(y_2 = \frac{2}{3}\)
\[ x^2 = \frac{2}{3} \]
Следовательно,
\[ x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \]
Шаг 5: Итоговый ответ
Таким образом, уравнение \(3x^4 - 5x^2 + 2 = 0\) имеет следующие корни:
\[ x = 1, \; x = -1, \; x = \frac{\sqrt{6}}{3}, \; x = -\frac{\sqrt{6}}{3} \]
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять процесс решения уравнения! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
