Длина вектора АВ равна 6, длина вектора АС равна 7. Косинус угла между этими векторами равен 5/7. Найдите длину вектора АВ - АС.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• \( | \vec{AB} | = 6 \) (длина вектора \( \vec{AB} \))
• \( | \vec{AC} | = 7 \) (длина вектора \( \vec{AC} \))
• \( \cos(\theta) = \frac{5}{7} \) (косинус угла \( \theta \) между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \))

Необходимая длина:

Нам нужно найти длину вектора \( \vec{AB} - \vec{AC} \).

Решение:

Для нахождения длины вектора \( \vec{AB} - \vec{AC} \) используем формулу для длины разности векторов:

\[ | \vec{AB} - \vec{AC} | = \sqrt{| \vec{AB} |^2 + | \vec{AC} |^2 - 2 | \vec{AB} | | \vec{AC} | \cos(\theta)} \]

Подставляем известные значения:

1. \( | \vec{AB} |^2 = 6^2 = 36 \)
2. \( | \vec{AC} |^2 = 7^2 = 49 \)
3. \( | \vec{AB} | | \vec{AC} | \cos(\theta) = 6 \cdot 7 \cdot \frac{5}{7} = 6 \cdot 5 = 30 \)

Теперь подставляем эти значения в формулу:

\[ | \vec{AB} - \vec{AC} | = \sqrt{36 + 49 - 2 \cdot 30} \]

Вычисляем:

1. Считаем сумму квадратов и вычитаем произведение: \[ 36 + 49 = 85 \] \[ 85 - 30 = 55 \]

2. Теперь вычисляем корень: \[ | \vec{AB} - \vec{AC} | = \sqrt{55} \]

Ответ:

Длина вектора \( \vec{AB} - \vec{AC} \) равна \( \sqrt{55} \).

Это значение можно оставить в таком виде, или приблизительно вычислить: \[ \sqrt{55} \approx 7.42 \]

Заключение:

Мы нашли длину разности векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \), используя свойства косинуса угла между ними и формулу для разности векторов.