Давайте разберемся с данной задачей, обсудим ее детали и решим.
У нас есть следующие данные:
- Всего мармеладок: 15 апельсиновых + 22 лимонных = 37 мармеладок.
- Событие A: первая мармеладка лимонная.
- Событие B: вторая мармеладка лимонная.
1. Определим поиск полной вероятности
Полная вероятность события B (то есть того, что вторая мармеладка лимонная) зависит от того, какая была первая мармеладка. Мы рассматриваем два случая:
- Случай 1: Первая мармеладка лимонная (событие A) - тогда на второй мармеладке остается 21 лимонная и 15 апельсиновых.
- Случай 2: Первая мармеладка апельсиновая - тогда на второй мармеладке остается 22 лимонные и 14 апельсиновых.
2. Найдем вероятности
Вероятность события A (первая мармеладка лимонная):
[
P(A) = \frac{22}{37}
]
Вероятность события B при условии A (вторая мармеладка лимонная, если первая лимонная):
У нас остается 21 лимонная и 15 апельсиновых, всего 36 мармеладок.
[
P(B|A) = \frac{21}{36}
]
Вероятность события B при условии, что первая мармеладка апельсиновая (событие A не произошло):
[
P(A^c) = \frac{15}{37}
]
Остается 22 лимонные и 14 апельсиновых.
[
P(B|A^c) = \frac{22}{36}
]
3. Полная вероятность события B
Используя формулу полной вероятности:
[
P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(A^c) \cdot P(B|A^c)
]
Подставляем значения:
[
P(B) = \frac{22}{37} \cdot \frac{21}{36} + \frac{15}{37} \cdot \frac{22}{36}
]
Теперь посчитаем:
- Первая часть:
[
P(A) \cdot P(B|A) = \frac{22 \cdot 21}{37 \cdot 36} = \frac{462}{1332}
]
- Вторая часть:
[
P(A^c) \cdot P(B|A^c) = \frac{15 \cdot 22}{37 \cdot 36} = \frac{330}{1332}
]
Теперь суммируем:
[
P(B) = \frac{462 + 330}{1332} = \frac{792}{1332}
]
4. Упростим дробь
Чтобы упростить дробь, найдем наибольший общий делитель (НОД) для 792 и 1332. НОД = 12:
[
\frac{792 \div 12}{1332 \div 12} = \frac{66}{111}
]
НОД для 66 и 111 = 3:
[
\frac{66 \div 3}{111 \div 3} = \frac{22}{37}
]
Ответ
Полная вероятность события B, что вторая мармеладка лимонная, составляет (\frac{22}{37}).
