Чтобы решить задачу, начнём с определения основных характеристик арифметической прогрессии (АП).
Обозначим первый член прогрессии как ( a ), а разность прогрессии как ( d ). Члены арифметической прогрессии можно записать так:
- Первый член: ( a )
- Второй член: ( a + d )
- Четвёртый член: ( a + 3d )
Сумма первых девяти членов данной арифметической прогрессии выражается формулой:
[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
]
В нашем случае:
[
S_9 = \frac{9}{2} (2a + 8d)
]
Поскольку по условию сумма девяти членов равна 36, можно записать уравнение:
[
\frac{9}{2} (2a + 8d) = 36
]
Упрощаем это уравнение:
[
2a + 8d = \frac{36 \cdot 2}{9} = 8
]
[
2a + 8d = 8
]
Теперь выразим ( a ) через ( d ):
[
2a = 8 - 8d \implies a = 4 - 4d
]
Теперь у нас есть значение ( a ) через ( d ). Теперь найдем произведение второго и четвёртого членов прогрессии:
[
P = (a + d)(a + 3d)
]
Подставляем выражение для ( a ):
[
P = ((4 - 4d) + d)((4 - 4d) + 3d)
]
[
P = (4 - 3d)(4 - d)
]
Раскроем скобки:
[
P = 16 - 4d - 12d + 3d^2
]
[
P = 3d^2 - 16d + 16
]
Теперь для поиска минимального значения произведения ( P ) мы используем метод нахождения производной. Найдём производную ( P ):
[
P'(d) = 6d - 16
]
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
[
6d - 16 = 0
]
[
6d = 16 \implies d = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}
]
Теперь проверим, является ли это значение минимумом. Для этого найдём вторую производную:
[
P''(d) = 6
]
Заметим, что вторая производная положительна, что указывает на то, что функция имеет минимум в точке ( d = \frac{8}{3} ).
Таким образом, значение разности прогрессии, при котором произведение второго и четвёртого членов будет минимальным:
[
d = \frac{8}{3}
]
Теперь мы можем подвести итог: минимальное произведение второго и четвёртого членов будет при разности ( d = \frac{8}{3} ), что завершает решение задачи.
