в партии 10 деталей. вероятность отклонения наминала равна 0,4. найти вероятность того что в данной партии есть 5 деталей с отклонением от наминала
Чтобы решить задачу, связанную с вероятностью, мы можем использовать биномиальное распределение. В данной задаче у нас есть партия из 10 деталей, из которых вероятность того, что деталь отклоняется от номинала, составляет 0,4. Нам необходимо найти вероятность того, что в партии будет 5 деталей с отклонением.
Шаг 1: Определим параметры задачи
- n (число испытаний) = 10 (количество деталей)
- p (вероятность успеха) = 0,4 (вероятность отклонения детали)
- k (число успешных исходов) = 5 (нам нужно найти вероятность, что 5 деталей будут с отклонением)
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что в \( n \) испытаниях будет ровно \( k \) успешных исходов, вычисляется по формуле:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
где:
- \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
- \(p^k\) — вероятность удачных испытаний, возведённая в степень количества удачных исходов
- \((1-p)^{n-k}\) — вероятность неудачных испытаний, возведённая в степень количества неудачных исходов
Шаг 3: Подставляем значения в формулу
Биномиальный коэффициент:
\[ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 \]Вероятность успеха в степени \( k \): \[ p^k = 0.4^5 = 0.4 \times 0.4 \times 0.4 \times 0.4 \times 0.4 = 0.01024 \]
Вероятность неудачи в степени \( n-k \): \[ (1-p)^{n-k} = (1-0.4)^{10-5} = 0.6^5 = 0.07776 \]
Шаг 4: Умножаем все части вместе
Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 5) = 252 \times 0.01024 \times 0.07776 \]
Теперь вычислим это:
\[ P(X = 5) = 252 \times 0.01024 \times 0.07776 \approx 0.205 \]
Ответ:
Вероятность того, что в партии из 10 деталей будет 5 с отклонением от номинала, составляет примерно 0.205, или 20.5%.
