Реши номер 5
Для решения задачи "Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения \(16^n + 5 \cdot 9^n - 3 \cdot 2^{n+1}\) кратно 7", давайте разберемся, что значит, что число кратно 7. Это значит, что при делении на 7 остаток будет равен 0.
Шаг 1: Изучим выражение
\[ E(n) = 16^n + 5 \cdot 9^n - 3 \cdot 2^{n+1} \]
Мы должны доказать, что \(E(n) \equiv 0 \pmod{7}\).
Шаг 2: Упростим выражение по модулю 7
Найдем \(16^n \pmod{7}\): \[ 16 \equiv 2 \pmod{7} \] Поэтому: \[ 16^n \equiv 2^n \pmod{7} \]
Найдем \(9^n \pmod{7}\): \[ 9 \equiv 2 \pmod{7} \] Поэтому: \[ 9^n \equiv 2^n \pmod{7} \]
Найдем \(2^{n+1} \pmod{7}\): Ясно, что: \[ 2^{n+1} \equiv 2 \cdot 2^n \equiv 2^{n+1} \pmod{7} \]
Шаг 3: Подставляем в выражение
Теперь переписываем \(E(n)\): \[ E(n) \equiv 2^n + 5 \cdot 2^n - 3 \cdot 2^{n+1} \pmod{7} \]
Упрощаем: \[ E(n) \equiv 2^n + 5 \cdot 2^n - 6 \cdot 2^n \pmod{7} \]
Путем вычислений: \[ E(n) \equiv 2^n(1 + 5 - 6) \equiv 2^n \cdot 0 \equiv 0 \pmod{7} \]
Шаг 4: Заключение
Таким образом, \(E(n) \equiv 0 \pmod{7}\) при любом натуральном \(n\), что доказывает, что \(16^n + 5 \cdot 9^n - 3 \cdot 2^{n+1}\) кратно 7.
Задача решена!
