Для решения задачи "Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения (16^n + 5 \cdot 9^n - 3 \cdot 2^{n+1}) кратно 7", давайте разберемся, что значит, что число кратно 7. Это значит, что при делении на 7 остаток будет равен 0.
Шаг 1: Изучим выражение
[ E(n) = 16^n + 5 \cdot 9^n - 3 \cdot 2^{n+1} ]
Мы должны доказать, что (E(n) \equiv 0 \pmod{7}).
Шаг 2: Упростим выражение по модулю 7
Найдем (16^n \pmod{7}):
[
16 \equiv 2 \pmod{7}
]
Поэтому:
[
16^n \equiv 2^n \pmod{7}
]
Найдем (9^n \pmod{7}):
[
9 \equiv 2 \pmod{7}
]
Поэтому:
[
9^n \equiv 2^n \pmod{7}
]
Найдем (2^{n+1} \pmod{7}):
Ясно, что:
[
2^{n+1} \equiv 2 \cdot 2^n \equiv 2^{n+1} \pmod{7}
]
Шаг 3: Подставляем в выражение
Теперь переписываем (E(n)):
[
E(n) \equiv 2^n + 5 \cdot 2^n - 3 \cdot 2^{n+1} \pmod{7}
]
Упрощаем:
[
E(n) \equiv 2^n + 5 \cdot 2^n - 6 \cdot 2^n \pmod{7}
]
Путем вычислений:
[
E(n) \equiv 2^n(1 + 5 - 6) \equiv 2^n \cdot 0 \equiv 0 \pmod{7}
]
Шаг 4: Заключение
Таким образом, (E(n) \equiv 0 \pmod{7}) при любом натуральном (n), что доказывает, что (16^n + 5 \cdot 9^n - 3 \cdot 2^{n+1}) кратно 7.
Задача решена!
