Sin(3x+п/4)=√3/2

Для решения уравнения \( \sin(3x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) следуем шагам, чтобы понять, как решить эту тригонометрическую задачу. ### Шаг 1: Определение значений аргумента синуса Сначала вспомним, при каких значениях угла синус равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Значения углов, при которых это происходит, составляют: - \( \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) (где \( k \) — любое целое число) - \( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) ### Шаг 2: Подстановка значений Теперь можно записать два отдельных уравнения для угла \( 3x + \frac{\pi}{4} \): 1. \( 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) 2. \( 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) ### Шаг 3: Избавление от постоянных Теперь решим оба уравнения, начиная с первого. #### Уравнение 1: \[ 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] Вычтем \( \frac{\pi}{4} \) из обеих сторон: \[ 3x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Найдём разность дробей. Приведём к общему знаменателю (12): \[ \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \] Теперь можем вычислить: \[ \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \] Таким образом, у нас получается: \[ 3x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi \] Теперь делим обе стороны на 3: \[ x = \frac{\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \] #### Уравнение 2: Теперь решим второе уравнение: \[ 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \] Снова вычтем \( \frac{\pi}{4} \): \[ 3x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \] Получаем: \[ \frac{8\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \] Теперь мы имеем: \[ 3x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi \] И разделим на 3: \[ x = \frac{5\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \] ### Шаг 4: Полученные решения Итак, у нас два результата для \( x \): 1. \( x = \frac{\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \) 2. \( x = \frac{5\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \) Теперь вы можете подставить различные целые числа для \( k \), чтобы получить конкретные решения для \( x \). ### Заключение Мы целиком рассмотрели процесс решения уравнения \( \sin(3x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и получили все возможные решения.Если у вас возникли дополнительные вопросы или сложности, не стесняйтесь спрашивать!