sin(3x+п/4)=√3/2

Для решения уравнения \( \sin(3x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) следуем шагам, чтобы понять, как решить эту тригонометрическую задачу.

Шаг 1: Определение значений аргумента синуса

Сначала вспомним, при каких значениях угла синус равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Значения углов, при которых это происходит, составляют:

• \( \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) (где \( k \) — любое целое число)
• \( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \)

Шаг 2: Подстановка значений

Теперь можно записать два отдельных уравнения для угла \( 3x + \frac{\pi}{4} \):

1. \( 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
2. \( 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \)

Шаг 3: Избавление от постоянных

Теперь решим оба уравнения, начиная с первого.

Уравнение 1:

\[ 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] Вычтем \( \frac{\pi}{4} \) из обеих сторон: \[ 3x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

Найдём разность дробей. Приведём к общему знаменателю (12): \[ \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \] Теперь можем вычислить: \[ \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \]

Таким образом, у нас получается: \[ 3x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi \] Теперь делим обе стороны на 3: \[ x = \frac{\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \]

Уравнение 2:

Теперь решим второе уравнение: \[ 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \] Снова вычтем \( \frac{\pi}{4} \): \[ 3x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \] Получаем: \[ \frac{8\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \]

Теперь мы имеем: \[ 3x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi \] И разделим на 3: \[ x = \frac{5\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \]

Шаг 4: Полученные решения

Итак, у нас два результата для \( x \):

1. \( x = \frac{\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \)
2. \( x = \frac{5\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \)

Теперь вы можете подставить различные целые числа для \( k \), чтобы получить конкретные решения для \( x \).

Заключение

Мы целиком рассмотрели процесс решения уравнения \( \sin(3x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и получили все возможные решения.Если у вас возникли дополнительные вопросы или сложности, не стесняйтесь спрашивать!