Найди площадь фигуры, ограниченной отрезком [ 33 π 4 ; 35 π 4 ] [ 4 33π ; 4 35π ] на оси O x Ox и графиком функции y = cos 2 x y=cos2x .
Для нахождения площади фигуры, ограниченной отрезком на оси \( O_x \) и графиком функции \( y = \cos(2x) \), мы будем использовать определённый интеграл. Первый шаг — определить, что именно мы ищем.
Шаг 1: Понять границы интегрирования
У нас есть отрезок \([ \frac{33\pi}{4}; \frac{35\pi}{4} ]\). Эти значения определяют границы интегрирования, между которыми мы будем определять площадь под графиком функции \( y = \cos(2x) \).
Шаг 2: Построить интеграл для площади
Площадь под кривой \( y = \cos(2x) \) от \( a \) до \( b \) может быть найдена следующим образом:
\[ S = \int_{a}^{b} y \, dx = \int_{a}^{b} \cos(2x) \, dx \]
Подставим в наш случай:
\[ S = \int_{\frac{33\pi}{4}}^{\frac{35\pi}{4}} \cos(2x) \, dx \]
Шаг 3: Найти интеграл
Итак, нам нужно интегрировать \( \cos(2x) \). Используя стандартное правило интегрирования, мы получаем:
\[ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) + C \]
Шаг 4: Вычислить определённый интеграл
Теперь мы применим определённый интеграл:
\[ S = \left[ \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{\frac{33\pi}{4}}^{\frac{35\pi}{4}} \]
Шаг 5: Подставить границы
Теперь подставим границы:
- Сначала вычислим \(\sin\left(2 \cdot \frac{35\pi}{4}\right)\):
\[ \sin\left(2 \cdot \frac{35\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{70\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{35\pi}{2}\right) \]
Так как \(\frac{35\pi}{2}\) – это \(17.5\pi\), мы знаем, что \(\sin(17.5\pi) = \sin(0.5\pi) = 1\).
- Теперь вычислим \(\sin\left(2 \cdot \frac{33\pi}{4}\right)\):
\[ \sin\left(2 \cdot \frac{33\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{66\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{33\pi}{2}\right) \]
Здесь \(\frac{33\pi}{2}\) – это \(16.5\pi\), и \(\sin(16.5\pi) = \sin(0.5\pi) = 1\).
Шаг 6: Считаем площадь
Теперь подставим значения в наш интеграл:
\[ S = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(2 \cdot \frac{35\pi}{4}\right) - \sin\left(2 \cdot \frac{33\pi}{4}\right) \right] = \frac{1}{2} [1 - 1] = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \]
Заключение
Получили, что площадь между графиком функции \( y = \cos(2x) \) и осью \( O_x \) на интервале \([ \frac{33\pi}{4}; \frac{35\pi}{4} ]\) равна \( 0 \). Это связано с тем, что на этом интервале функция \( \cos(2x) \) пересекает ось \( O_x \) и имеет равные области положительной и отрицательной площади.
