Найди площадь фигуры, ограниченной отрезком  [ 33 π 4 ; 35 π 4 ] [ 4 33π ​ ; 4 35π ​ ] на оси  O x Ox и графиком функции  y = cos ⁡ 2 x y=cos2x.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной отрезком на оси \( O_x \) и графиком функции \( y = \cos(2x) \), мы будем использовать определённый интеграл. Первый шаг — определить, что именно мы ищем. ### Шаг 1: Понять границы интегрирования У нас есть отрезок \([ \frac{33\pi}{4}; \frac{35\pi}{4} ]\). Эти значения определяют границы интегрирования, между которыми мы будем определять площадь под графиком функции \( y = \cos(2x) \). ### Шаг 2: Построить интеграл для площади Площадь под кривой \( y = \cos(2x) \) от \( a \) до \( b \) может быть найдена следующим образом: \[ S = \int_{a}^{b} y \, dx = \int_{a}^{b} \cos(2x) \, dx \] Подставим в наш случай: \[ S = \int_{\frac{33\pi}{4}}^{\frac{35\pi}{4}} \cos(2x) \, dx \] ### Шаг 3: Найти интеграл Итак, нам нужно интегрировать \( \cos(2x) \). Используя стандартное правило интегрирования, мы получаем: \[ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) + C \] ### Шаг 4: Вычислить определённый интеграл Теперь мы применим определённый интеграл: \[ S = \left[ \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{\frac{33\pi}{4}}^{\frac{35\pi}{4}} \] ### Шаг 5: Подставить границы Теперь подставим границы: 1. Сначала вычислим \(\sin\left(2 \cdot \frac{35\pi}{4}\right)\): \[ \sin\left(2 \cdot \frac{35\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{70\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{35\pi}{2}\right) \] Так как \(\frac{35\pi}{2}\) – это \(17.5\pi\), мы знаем, что \(\sin(17.5\pi) = \sin(0.5\pi) = 1\). 2. Теперь вычислим \(\sin\left(2 \cdot \frac{33\pi}{4}\right)\): \[ \sin\left(2 \cdot \frac{33\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{66\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{33\pi}{2}\right) \] Здесь \(\frac{33\pi}{2}\) – это \(16.5\pi\), и \(\sin(16.5\pi) = \sin(0.5\pi) = 1\). ### Шаг 6: Считаем площадь Теперь подставим значения в наш интеграл: \[ S = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(2 \cdot \frac{35\pi}{4}\right) - \sin\left(2 \cdot \frac{33\pi}{4}\right) \right] = \frac{1}{2} [1 - 1] = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \] ### Заключение Получили, что площадь между графиком функции \( y = \cos(2x) \) и осью \( O_x \) на интервале \([ \frac{33\pi}{4}; \frac{35\pi}{4} ]\) равна \( 0 \). Это связано с тем, что на этом интервале функция \( \cos(2x) \) пересекает ось \( O_x \) и имеет равные области положительной и отрицательной площади.