Найди площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=∣x+3∣ + 2 y=∣x+3∣+2 и прямыми x = − 7 x=−7 и x = 3 x=3 .

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции \( y = |x + 3| + 2 \) и прямыми \( x = -7 \) и \( x = 3 \), необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем это пошагово.

Шаг 1: Понимание функции

Функция \( y = |x + 3| + 2 \) представляет собой V-образный график, который смещен вверх на 2 единицы и перемещен влево на 3 единицы из-за абсолютного значения. Нанесем график функции на координатную плоскость.

Шаг 2: Построение графика

Функция \( y = |x + 3| + 2 \) имеет две части:

1. Когда \( x + 3 \geq 0 \) (то есть \( x \geq -3 \)): \( y = x + 3 + 2 = x + 5 \).
2. Когда \( x + 3 < 0 \) (то есть \( x < -3 \)): \( y = -(x + 3) + 2 = -x - 3 + 2 = -x - 1 \).

Таким образом, функция принимает вид:

• Для \( x < -3 \): \( y = -x - 1 \)
• Для \( x \geq -3 \): \( y = x + 5 \)

Шаг 3: Находим точки пересечения

Теперь найдем точки пересечения графика функции с заданными вертикальными линиями:

1. При \( x = -7 \): \[ y = |-7 + 3| + 2 = | -4 | + 2 = 4 + 2 = 6 \]
2. При \( x = 3 \): \[ y = |3 + 3| + 2 = |6| + 2 = 6 + 2 = 8 \]

Шаг 4: Нахождение площади

С теперь знаем, что:

• При \( x = -7 \) значение функции \( y = 6 \).
• При \( x = 3 \) значение функции \( y = 8 \).

Мы можем вычислить площадь фигуры, находящейся между графиком функции и осью \( x \) в пределах от \( x = -7 \) до \( x = 3 \). Чтобы сделать это, необходимо разбить данный отрезок на две части:

1. От \( x = -7 \) до \( x = -3 \): здесь \( y = -x - 1 \).
2. От \( x = -3 \) до \( x = 3 \): здесь \( y = x + 5 \).

Теперь вычислим площади.

Площадь первой части (от \( x = -7 \) до \( x = -3 \)):

\[ \text{Площадь}_1 = \int_{-7}^{-3} (-x - 1) \, dx \] Вычислим интеграл: \[ = \left[ -\frac{x^2}{2} - x \right]_{-7}^{-3} = \left( -\frac{(-3)^2}{2} - (-3) \right) - \left( -\frac{(-7)^2}{2} - (-7) \right) \] \[ = \left( -\frac{9}{2} + 3 \right) - \left( -\frac{49}{2} + 7 \right) \] \[ = \left( -\frac{9}{2} + \frac{6}{2} \right) - \left( -\frac{49}{2} + \frac{14}{2} \right) = -\frac{3}{2} - \left( -\frac{35}{2} \right) = -\frac{3}{2} + \frac{35}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]

Площадь второй части (от \( x = -3 \) до \( x = 3 \)):

\[ \text{Площадь}_2 = \int_{-3}^{3} (x + 5) \, dx \] Вычислим интеграл: \[ = \left[ \frac{x^2}{2} + 5x \right]_{-3}^{3} = \left( \frac{(3)^2}{2} + 5(3) \right) - \left( \frac{(-3)^2}{2} + 5(-3) \right) \] \[ = \left( \frac{9}{2} + 15 \right) - \left( \frac{9}{2} - 15 \right) = \left( \frac{9}{2} + \frac{30}{2} \right) - \left( \frac{9}{2} - \frac{30}{2} \right) = \left( \frac{39}{2} \right) - \left( -\frac{21}{2} \right) \] \[ = \frac{39}{2} + \frac{21}{2} = \frac{60}{2} = 30. \]

Шаг 5: Общая площадь

Теперь сложим площади обеих частей: \[ \text{Общая площадь} = \text{Площадь}_1 + \text{Площадь}_2 = 16 + 30 = 46. \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми, равна 46.