Найди площадь фигуры, ограниченной графиком функции  y=∣x+3∣ + 2 y=∣x+3∣+2 и прямыми  x = − 7 x=−7 и  x = 3 x=3.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции \( y = |x + 3| + 2 \) и прямыми \( x = -7 \) и \( x = 3 \), необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем это пошагово. ### Шаг 1: Понимание функции Функция \( y = |x + 3| + 2 \) представляет собой V-образный график, который смещен вверх на 2 единицы и перемещен влево на 3 единицы из-за абсолютного значения. Нанесем график функции на координатную плоскость. ### Шаг 2: Построение графика Функция \( y = |x + 3| + 2 \) имеет две части: 1. Когда \( x + 3 \geq 0 \) (то есть \( x \geq -3 \)): \( y = x + 3 + 2 = x + 5 \). 2. Когда \( x + 3 < 0 \) (то есть \( x < -3 \)): \( y = -(x + 3) + 2 = -x - 3 + 2 = -x - 1 \). Таким образом, функция принимает вид: - Для \( x < -3 \): \( y = -x - 1 \) - Для \( x \geq -3 \): \( y = x + 5 \) ### Шаг 3: Находим точки пересечения Теперь найдем точки пересечения графика функции с заданными вертикальными линиями: 1. При \( x = -7 \): \[ y = |-7 + 3| + 2 = | -4 | + 2 = 4 + 2 = 6 \] 2. При \( x = 3 \): \[ y = |3 + 3| + 2 = |6| + 2 = 6 + 2 = 8 \] ### Шаг 4: Нахождение площади С теперь знаем, что: - При \( x = -7 \) значение функции \( y = 6 \). - При \( x = 3 \) значение функции \( y = 8 \). Мы можем вычислить площадь фигуры, находящейся между графиком функции и осью \( x \) в пределах от \( x = -7 \) до \( x = 3 \). Чтобы сделать это, необходимо разбить данный отрезок на две части: 1. От \( x = -7 \) до \( x = -3 \): здесь \( y = -x - 1 \). 2. От \( x = -3 \) до \( x = 3 \): здесь \( y = x + 5 \). Теперь вычислим площади. #### Площадь первой части (от \( x = -7 \) до \( x = -3 \)): \[ \text{Площадь}_1 = \int_{-7}^{-3} (-x - 1) \, dx \] Вычислим интеграл: \[ = \left[ -\frac{x^2}{2} - x \right]_{-7}^{-3} = \left( -\frac{(-3)^2}{2} - (-3) \right) - \left( -\frac{(-7)^2}{2} - (-7) \right) \] \[ = \left( -\frac{9}{2} + 3 \right) - \left( -\frac{49}{2} + 7 \right) \] \[ = \left( -\frac{9}{2} + \frac{6}{2} \right) - \left( -\frac{49}{2} + \frac{14}{2} \right) = -\frac{3}{2} - \left( -\frac{35}{2} \right) = -\frac{3}{2} + \frac{35}{2} = \frac{32}{2} = 16 \] #### Площадь второй части (от \( x = -3 \) до \( x = 3 \)): \[ \text{Площадь}_2 = \int_{-3}^{3} (x + 5) \, dx \] Вычислим интеграл: \[ = \left[ \frac{x^2}{2} + 5x \right]_{-3}^{3} = \left( \frac{(3)^2}{2} + 5(3) \right) - \left( \frac{(-3)^2}{2} + 5(-3) \right) \] \[ = \left( \frac{9}{2} + 15 \right) - \left( \frac{9}{2} - 15 \right) = \left( \frac{9}{2} + \frac{30}{2} \right) - \left( \frac{9}{2} - \frac{30}{2} \right) = \left( \frac{39}{2} \right) - \left( -\frac{21}{2} \right) \] \[ = \frac{39}{2} + \frac{21}{2} = \frac{60}{2} = 30. \] ### Шаг 5: Общая площадь Теперь сложим площади обеих частей: \[ \text{Общая площадь} = \text{Площадь}_1 + \text{Площадь}_2 = 16 + 30 = 46. \] Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми, равна **46**.