построить график функции: у=||х|-3|

Чтобы построить график функции \( y = ||x| - 3| \), давайте разберем ее по шагам.

Шаг 1: Понять структуру функции

1. Внешняя функция: Мы видим два знака абсолютного значения: сначала \( |x| \), а затем результат этого абсолютного значения также обрабатывается через абсолютное значение.

2. Внутренняя функция: Разберем внутреннюю часть \( |x| - 3 \). Это означает, что мы сначала берем модуль \( x \), а затем вычитаем 3.

Шаг 2: Определить ключевые точки

Для построения графика нам нужно знать, где функция меняет свое поведение. Это происходит на границах абсолютных значений.

1. Рассмотрим \( |x| - 3 = 0 \): \[ |x| = 3 \] Это дает нам два значения: \[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3 \]

2. Теперь определим значения функции в этих точках:

   • При \( x = 3 \): \[ y = ||3| - 3| = |3 - 3| = |0| = 0 \]
   • При \( x = -3 \): \[ y = ||-3| - 3| = |3 - 3| = |0| = 0 \]

Шаг 3: Исследовать функцию на интервалах

Теперь исследуем поведение функции на интервалах:

1. Для \( x < -3 \):

   • Здесь \( |x| = -x \) (так как \( x \) отрицательно)
   • \( ||x| - 3| = |-x - 3| = |3 + x| \)
   • Поскольку \( x < -3 \), \( 3 + x < 0 \), поэтому \( y = -(3 + x) = -3 - x \).

2. Для \( -3 < x < 3 \):

   • Здесь \( |x| = x \) (так как \( x \) положительно и меньше 3)
   • \( ||x| - 3| = |x - 3| \)
   • Поскольку \( -3 < x < 3 \), \( x - 3 < 0 \), поэтому \( y = -(x - 3) = 3 - x \).

3. Для \( x > 3 \):

   • Здесь \( |x| = x \)
   • \( ||x| - 3| = |x - 3| \)
   • Для \( x > 3 \), \( x - 3 > 0 \), поэтому \( y = x - 3 \).

Шаг 4: Составить функцию

Теперь можем записать функцию на каждом интервале:

• Для \( x < -3 \): \( y = -3 - x \)
• Для \( -3 \leq x \leq 3 \): \( y = 3 - x \)
• Для \( x > 3 \): \( y = x - 3 \)

Шаг 5: Построить график

Теперь, имея значения и поведение функции, мы можем построить график:

1. Точки: (3, 0) и (-3, 0)
2. Интервалы:
   • Линия с углом наклона -1 для \( x < -3 \) (растет, проходя через (-3, 0))
   • Линия с углом наклона -1 для \(-3 < x < 3\) (падает, проходя через (3, 0))
   • Линия с углом наклона 1 для \( x > 3 \) (растет)

Шаг 6: Итоговый график

В результате получится график, который:

• В точках \( x = -3 \) и \( x = 3 \) подходит к оси \( x \).
• Имеет наклон 1 и -1 на соответствующих интервалах.

Таким образом, мы построили график функции \( y = ||x| - 3| \) с пониманием ее поведения на разных интервалах.