Построить график функции: у=||х|-3|

Чтобы построить график функции \( y = ||x| - 3| \), давайте разберем ее по шагам. ### Шаг 1: Понять структуру функции 1. **Внешняя функция:** Мы видим два знака абсолютного значения: сначала \( |x| \), а затем результат этого абсолютного значения также обрабатывается через абсолютное значение. 2. **Внутренняя функция:** Разберем внутреннюю часть \( |x| - 3 \). Это означает, что мы сначала берем модуль \( x \), а затем вычитаем 3. ### Шаг 2: Определить ключевые точки Для построения графика нам нужно знать, где функция меняет свое поведение. Это происходит на границах абсолютных значений. 1. Рассмотрим \( |x| - 3 = 0 \): \[ |x| = 3 \] Это дает нам два значения: \[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3 \] 2. Теперь определим значения функции в этих точках: - При \( x = 3 \): \[ y = ||3| - 3| = |3 - 3| = |0| = 0 \] - При \( x = -3 \): \[ y = ||-3| - 3| = |3 - 3| = |0| = 0 \] ### Шаг 3: Исследовать функцию на интервалах Теперь исследуем поведение функции на интервалах: 1. Для \( x < -3 \): - Здесь \( |x| = -x \) (так как \( x \) отрицательно) - \( ||x| - 3| = |-x - 3| = |3 + x| \) - Поскольку \( x < -3 \), \( 3 + x < 0 \), поэтому \( y = -(3 + x) = -3 - x \). 2. Для \( -3 < x < 3 \): - Здесь \( |x| = x \) (так как \( x \) положительно и меньше 3) - \( ||x| - 3| = |x - 3| \) - Поскольку \( -3 < x < 3 \), \( x - 3 < 0 \), поэтому \( y = -(x - 3) = 3 - x \). 3. Для \( x > 3 \): - Здесь \( |x| = x \) - \( ||x| - 3| = |x - 3| \) - Для \( x > 3 \), \( x - 3 > 0 \), поэтому \( y = x - 3 \). ### Шаг 4: Составить функцию Теперь можем записать функцию на каждом интервале: - Для \( x < -3 \): \( y = -3 - x \) - Для \( -3 \leq x \leq 3 \): \( y = 3 - x \) - Для \( x > 3 \): \( y = x - 3 \) ### Шаг 5: Построить график Теперь, имея значения и поведение функции, мы можем построить график: 1. **Точки:** (3, 0) и (-3, 0) 2. **Интервалы:** - Линия с углом наклона -1 для \( x < -3 \) (растет, проходя через (-3, 0)) - Линия с углом наклона -1 для \(-3 < x < 3\) (падает, проходя через (3, 0)) - Линия с углом наклона 1 для \( x > 3 \) (растет) ### Шаг 6: Итоговый график В результате получится график, который: - В точках \( x = -3 \) и \( x = 3 \) подходит к оси \( x \). - Имеет наклон 1 и -1 на соответствующих интервалах. Таким образом, мы построили график функции \( y = ||x| - 3| \) с пониманием ее поведения на разных интервалах.