Обозначьте искомые величины через х и у и составьте системы уравнений по следующим данным: а) Иван Петрович зарабатывает на 5000 р. в месяц больше Петра Ивановича, вместе они…

Давайте разберем каждую из задач по порядку, обозначим искомые величины и составим системы уравнений.

а) Заработок Ивана Петровича и Петра Ивановича

Позначим:

• \( x \) — заработок Петра Ивановича (в рублях)
• \( y \) — заработок Ивана Петровича (в рублях)

Данные:

1. Иван Петрович зарабатывает на 5000 рублей больше Петра Ивановича: \[ y = x + 5000 \]
2. Вместе они зарабатывают 30000 рублей: \[ x + y = 30000 \]

Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x + 5000 \\ x + y = 30000 \end{cases} \]

Решение: Подставим первое уравнение во второе: \[ x + (x + 5000) = 30000 \] \[ 2x + 5000 = 30000 \] \[ 2x = 30000 - 5000 \] \[ 2x = 25000 \] \[ x = 12500 \] Теперь найдем \( y \): \[ y = 12500 + 5000 = 17500 \]

Ответ: Петр Иванович зарабатывает 12500 рублей, а Иван Петрович — 17500 рублей.

б) Оценки Люды

Позначим:

• \( x \) — количество пятерок
• \( y \) — количество четверок

Данные:

1. В общей сложности Люда набрала 35 баллов: \[ 5x + 4y = 35 \]
2. Пятерок она получила на 2 меньше, чем четверок: \[ x = y - 2 \]

Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} 5x + 4y = 35 \\ x = y - 2 \end{cases} \]

Решение: Подставим второе уравнение в первое: \[ 5(y - 2) + 4y = 35 \] \[ 5y - 10 + 4y = 35 \] \[ 9y - 10 = 35 \] \[ 9y = 45 \] \[ y = 5 \] Теперь найдем \( x \): \[ x = 5 - 2 = 3 \]

Ответ: Люда получила 3 пятерки и 5 четверок.

в) Рейсы машин

Позначим:

• \( x \) — количество рейсов трехтонной машины
• \( y \) — количество рейсов пятитонной машины

Данные:

1. Пятитонная машина сделала на 3 рейса больше, чем трехтонная: \[ y = x + 3 \]
2. Вместе они вывезли 71 тонну песка: \[ 3x + 5y = 71 \]

Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x + 3 \\ 3x + 5y = 71 \end{cases} \]

Решение: Подставим первое уравнение во второе: \[ 3x + 5(x + 3) = 71 \] \[ 3x + 5x + 15 = 71 \] \[ 8x + 15 = 71 \] \[ 8x = 56 \] \[ x = 7 \] Теперь найдем \( y \): \[ y = 7 + 3 = 10 \]

Ответ: Трехтонная машина сделала 7 рейсов, пятитонная — 10 рейсов.

г) Длина и ширина прямоугольника

Позначим:

• \( x \) — ширина прямоугольника
• \( y \) — длина прямоугольника

Данные:

1. Длина на 5 больше ширины: \[ y = x + 5 \]
2. Периметр прямоугольника равен 22: \[ 2(x + y) = 22 \]

Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x + 5 \\ 2(x + y) = 22 \end{cases} \]

Решение: Подставим первое уравнение во второе: \[ 2(x + (x + 5)) = 22 \] \[ 2(2x + 5) = 22 \] \[ 4x + 10 = 22 \] \[ 4x = 12 \] \[ x = 3 \] Теперь найдем \( y \): \[ y = 3 + 5 = 8 \]

Ответ: Ширина прямоугольника 3, длина 8.

д) Площадь прямоугольника

Позначим:

• \( x \) — ширина прямоугольника
• \( y \) — длина прямоугольника

Данные:

1. Длина на 3 больше ширины: \[ y = x + 3 \]
2. Площадь прямоугольника равна 10: \[ xy = 10 \]

Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x + 3 \\ xy = 10 \end{cases} \]

Решение: Подставим первое уравнение во второе: \[ x(x + 3) = 10 \] \[ x^2 + 3x - 10 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \] Корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2} \]

Находим корни:

1. \( x = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( x = \frac{-10}{2} = -5 \) (отрицательное значение отбрасываем)

Теперь найдем \( y \): \[ y = 2 + 3 = 5 \]

Ответ: Ширина прямоугольника 2, длина 5.

Если у вас есть дополнительные вопросы по этим задачам или другим темам, дайте знать!