3. В равнобедренном треугольнике СТВ с основанием СВ проведена медиана TZ, на которой взята точка Х. Докажите, что ∆СХТ = ∆ВХТ. 4. В равнобедренном треугольнике DFC с основанием DC проведена медиана FN, на которой взята точка Н. Докажите, что ∆DHN = ∆CHN.

Рассмотрим каждую из задач по отдельности и шаг за шагом постараемся понять, как их решить. ### Задача 3: **Дано:** Равнобедренный треугольник \( СТВ \) с основанием \( СВ \). Проведена медиана \( TZ \) к основанию, и на ней выбрана точка \( X \). **Доказать:** \( \triangle СХТ \cong \triangle ВХТ \). #### Решение: 1. **Определим данные:** В равнобедренном треугольнике \( СТВ \) стороны \( СТ \) и \( ВТ \) равны: \( СТ = ВТ \). Медиана \( TZ \) делит основание \( СВ \) пополам, то есть \( SZ = ZB \). 2. **Обозначим длины:** Пусть \( SZ = ZB = a \), \( СТ = ВТ = b \), \( TZ = h \). 3. **Рассмотрим треугольники:** Мы можем рассмотреть треугольники \( СХТ \) и \( ВХТ \). 4. **Сравнение сторон:** - \( СТ = ВТ \) (так как они равны по определению равнобедренного треугольника) - \( ХТ = ХТ \) (общая сторона) - \( SZ = ZB \) (так как \( Z \) - середина отрезка \( СВ \)) 5. **Применяем критерий равенства треугольников:** У нас есть две равные стороны и одна общая сторона, поэтому можем заключить, что \( \triangle СХТ \cong \triangle ВХТ \) по критерию SSS (сторона-сторона-сторона). 6. **Заключение:** Таким образом, мы доказали, что \( \triangle СХТ \) и \( \triangle ВХТ \) равны. --- ### Задача 4: **Дано:** Равнобедренный треугольник \( DFC \) с основанием \( DC \). Проведена медиана \( FN \), и на ней выбрана точка \( Н \). **Доказать:** \( \triangle DHN \cong \triangle CHN \). #### Решение: 1. **Обозначим данные:** В равнобедренном треугольнике \( DFC \) стороны \( DF \) и \( CF \) равны: \( DF = CF \). Медиана \( FN \) делит основание \( DC \) пополам, то есть \( DN = NC \). 2. **Обозначим длины:** Пусть \( DN = NC = m \), \( DF = CF = n \). 3. **Рассмотрим треугольники:** Мы можем рассмотреть треугольники \( DHN \) и \( CHN \). 4. **Сравнение сторон:** - \( DF = CF \) (равнобедренный треугольник) - \( NH = NH \) (общая сторона) - \( DN = NC \) (поскольку \( N \) - середина отрезка \( DC \)) 5. **Применяем критерий равенства треугольников:** У нас также есть две равные стороны и одна общая сторона, поэтому можем заключить, что \( \triangle DHN \cong \triangle CHN \) по критерию SSS. 6. **Заключение:** Мы доказали, что треугольники \( DHN \) и \( CHN \) равны. ### Вывод: В обеих задачах мы использовали свойства равнобедренных треугольников и медиан, чтобы показать равенство двух треугольников. Это подход к решению поможет вам понять структуру и свойства треугольников.