D
Давайте разберём задачу №628.
Условие:
Решите уравнение \[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x - 4} = \frac{x - 3}{x^2 + 3x + 2}. \]
Шаг 1: Найдём область определения уравнения
Нужно выяснить, при каких значениях \( x \) уравнение не определено. Это происходит, когда знаменатели уравнения равны нулю.
\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)
Разложим на множители: \[ x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) = 0 \] Отсюда \( x = 4 \) и \( x = -1 \).
\( x^2 + 3x + 2 = 0 \)
Разложим на множители: \[ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) = 0 \] Отсюда \( x = -1 \) и \( x = -2 \).
Значит, область определения: \( x \neq 4 \), \( x \neq -1 \), \( x \neq -2 \).
Шаг 2: Упростим уравнение
Уравнение: \[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x - 4} = \frac{x - 3}{x^2 + 3x + 2}. \]
Числитель левой части: \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). \]
Уравнение принимает вид: \[ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{x - 3}{(x + 1)(x + 2)}. \]
Сократим на \( x - 3 \) (при условии, что \( x \neq 3 \)), получим: \[ \frac{x + 3}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{1}{(x + 1)(x + 2)}. \]
Шаг 3: Приведём обе стороны к общему знаменателю и упростим
Общий знаменатель: \((x - 4)(x + 1)(x + 2)\).
Умножим обе части на общий знаменатель: \[ (x + 3)(x + 2) = (x - 4). \]
Раскроем скобки: \[ x^2 + 5x + 6 = x - 4. \]
Шаг 4: Решим уравнение
Перенесём всё в одну сторону: \[ x^2 + 5x + 6 - x + 4 = 0 \rightarrow x^2 + 4x + 10 = 0. \]
Шаг 5: Найдём корни квадратного уравнения
Дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 16 - 40 = -24. \]
Так как дискриминант отрицательный, вещественных корней нет.
Ответ
Уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел.
