X^2-6x+4

Для решения неравенства \(\frac{x-3}{x^2-6x+4} \geq 0\), последовательно выполним следующие шаги: ### Шаг 1: Найдём нули функции 1. **Числитель:** \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\). 2. **Знаменатель:** \(x^2 - 6x + 4 = 0\). Используем формулу квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 4\): \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \] Получаем два корня: \(x = 3 + \sqrt{5}\) и \(x = 3 - \sqrt{5}\). ### Шаг 2: Найдём области знаков Разделим числовую прямую на интервалы с учётом найденных корней: - \(x < 3 - \sqrt{5}\) - \(3 - \sqrt{5} < x < 3\) - \(3 < x < 3 + \sqrt{5}\) - \(x > 3 + \sqrt{5}\) ### Шаг 3: Исследуем знаки на интервалах Выбираем тестовые точки из каждого интервала: 1. **На интервале \(x < 3 - \sqrt{5}\)**: Например, \(x = 0\). \[ \frac{0 - 3}{0^2 - 6 \cdot 0 + 4} = \frac{-3}{4} < 0 \] 2. **На интервале \(3 - \sqrt{5} < x < 3\)**: Например, \(x = 2\). \[ \frac{2 - 3}{2^2 - 6 \cdot 2 + 4} = \frac{-1}{-4} > 0 \] 3. **На интервале \(3 < x < 3 + \sqrt{5}\)**: Например, \(x = 4\). \[ \frac{4 - 3}{4^2 - 6 \cdot 4 + 4} = \frac{1}{-4} < 0 \] 4. **На интервале \(x > 3 + \sqrt{5}\)**: Например, \(x = 5\). \[ \frac{5 - 3}{5^2 - 6 \cdot 5 + 4} = \frac{2}{9} > 0 \] ### Шаг 4: Записываем решение Учитываем включение корней: - Точки \(x = 3\), \(x = 3 - \sqrt{5}\), \(x = 3 + \sqrt{5}\) не входят в область допустимых значений. Итак, решение неравенства: \[ x \in (3 - \sqrt{5}, 3) \cup (3 + \sqrt{5}, \infty) \]