X^2-6x+4

Для решения неравенства \(\frac{x-3}{x^2-6x+4} \geq 0\), последовательно выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдём нули функции

1. Числитель: \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\).

2. Знаменатель: \(x^2 - 6x + 4 = 0\).

   Используем формулу квадратного уравнения:

   \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

   где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 4\):

   \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} \]

   \[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \]

   Получаем два корня: \(x = 3 + \sqrt{5}\) и \(x = 3 - \sqrt{5}\).

Шаг 2: Найдём области знаков

Разделим числовую прямую на интервалы с учётом найденных корней:

• \(x < 3 - \sqrt{5}\)
• \(3 - \sqrt{5} < x < 3\)
• \(3 < x < 3 + \sqrt{5}\)
• \(x > 3 + \sqrt{5}\)

Шаг 3: Исследуем знаки на интервалах

Выбираем тестовые точки из каждого интервала:

1. На интервале \(x < 3 - \sqrt{5}\): Например, \(x = 0\). \[ \frac{0 - 3}{0^2 - 6 \cdot 0 + 4} = \frac{-3}{4} < 0 \]

2. На интервале \(3 - \sqrt{5} < x < 3\): Например, \(x = 2\). \[ \frac{2 - 3}{2^2 - 6 \cdot 2 + 4} = \frac{-1}{-4} > 0 \]

3. На интервале \(3 < x < 3 + \sqrt{5}\): Например, \(x = 4\). \[ \frac{4 - 3}{4^2 - 6 \cdot 4 + 4} = \frac{1}{-4} < 0 \]

4. На интервале \(x > 3 + \sqrt{5}\): Например, \(x = 5\). \[ \frac{5 - 3}{5^2 - 6 \cdot 5 + 4} = \frac{2}{9} > 0 \]

Шаг 4: Записываем решение

Учитываем включение корней:

• Точки \(x = 3\), \(x = 3 - \sqrt{5}\), \(x = 3 + \sqrt{5}\) не входят в область допустимых значений.

Итак, решение неравенства:

\[ x \in (3 - \sqrt{5}, 3) \cup (3 + \sqrt{5}, \infty) \]