Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой 0 = 2t+3t²(м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
Для решения задачи о движении тела с заданной формулой скорости, давайте разберёмся с определениями и проведём необходимые расчёты.
Дано:
Формула скорости тела:
\[ v(t) = 2t + 3t^2 \quad (м/с) \]
Время, за которое нужно найти путь:
\[ t = 5 \quad (с) \]
Шаг 1: Найти функцию перемещения
Путь, пройденный телом, можно найти, интегрировав функцию скорости. Это связано с тем, что скорость является производной от перемещения по времени:
\[ s(t) = \int v(t) \, dt \]
Шаг 2: Интегрируем скорость
Подставим формулу скорости в интеграл:
\[ s(t) = \int (2t + 3t^2) \, dt \]
Интегрируем каждый член отдельно:
Интеграл от \( 2t \): \[ \int 2t \, dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} = t^2 \]
Интеграл от \( 3t^2 \): \[ \int 3t^2 \, dt = 3 \cdot \frac{t^3}{3} = t^3 \]
Теперь объединим результаты интегрирования:
\[ s(t) = t^2 + t^3 + C \]
Где \( C \) — это константа интегрирования. В случае, когда тело начинает движение с начального положения в нуле (то есть \( s(0) = 0 \)), константа \( C = 0 \). Тогда функция перемещения упрощается до:
\[ s(t) = t^2 + t^3 \]
Шаг 3: Найти путь за 5 секунд
Теперь подставляем \( t = 5 \) секунд в полученную функцию перемещения:
\[ s(5) = 5^2 + 5^3 \] \[ s(5) = 25 + 125 \] \[ s(5) = 150 \quad (м) \]
Ответ
Таким образом, путь, пройденный телом за 5 секунд, составляет 150 метров.
