В классе 14 девочек и 12 мальчиков. Сколькими способами можно выделить группу из трёх человек, если нужно выбрать трёх девочек
Чтобы решить задачу о том, сколько способов можно выделить группу из трех девочек из класса, где 14 девочек, мы используем комбинаторику. Конкретно, нам нужно рассчитать количество сочетаний из 14 по 3, поскольку мы выбираем 3 девочки из 14.
Формула для вычисления количества сочетаний (C(n, k)) выглядит так:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где:
- \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае 14 девочек),
- \( k \) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 3 девочки),
- \( ! \) — факториал числа (например, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)).
Теперь подставим наши значения в формулу:
Вычислим факториалы:
- \( n = 14 \) → \( 14! \)
- \( k = 3 \) → \( 3! \)
- \( n - k = 14 - 3 = 11 \) → \( 11! \)
Подставим значения в формулу:
\[ C(14, 3) = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3! \cdot 11!} \]
- Теперь упростим выражение. Мы знаем, что \( 14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11! \), поэтому можем выразить:
\[ C(14, 3) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11!}{3! \cdot 11!} \]
- Упрощаем (сокращаем на \( 11! \)):
\[ C(14, 3) = \frac{14 \times 13 \times 12}{3!} \]
- Теперь вычислим \( 3! \):
\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
- Подставляем \( 3! \) обратно в формулу:
\[ C(14, 3) = \frac{14 \times 13 \times 12}{6} \]
Вычислим числитель:
- \( 14 \times 13 = 182 \)
- \( 182 \times 12 = 2184 \)
Теперь делим на 6:
\[ C(14, 3) = \frac{2184}{6} = 364 \]
Таким образом, существует 364 способа выбрать группу из трех девочек из 14 девочек.
