Чтобы решить задачу о том, сколько способов можно выделить группу из трех девочек из класса, где 14 девочек, мы используем комбинаторику. Конкретно, нам нужно рассчитать количество сочетаний из 14 по 3, поскольку мы выбираем 3 девочки из 14.
Формула для вычисления количества сочетаний (C(n, k)) выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество элементов (в нашем случае 14 девочек),
- ( k ) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 3 девочки),
- ( ! ) — факториал числа (например, ( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 )).
Теперь подставим наши значения в формулу:
Вычислим факториалы:
- ( n = 14 ) → ( 14! )
- ( k = 3 ) → ( 3! )
- ( n - k = 14 - 3 = 11 ) → ( 11! )
Подставим значения в формулу:
[
C(14, 3) = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3! \cdot 11!}
]
- Теперь упростим выражение. Мы знаем, что ( 14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11! ), поэтому можем выразить:
[
C(14, 3) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11!}{3! \cdot 11!}
]
- Упрощаем (сокращаем на ( 11! )):
[
C(14, 3) = \frac{14 \times 13 \times 12}{3!}
]
- Теперь вычислим ( 3! ):
[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
]
- Подставляем ( 3! ) обратно в формулу:
[
C(14, 3) = \frac{14 \times 13 \times 12}{6}
]
Вычислим числитель:
- ( 14 \times 13 = 182 )
- ( 182 \times 12 = 2184 )
Теперь делим на 6:
[
C(14, 3) = \frac{2184}{6} = 364
]
Таким образом, существует 364 способа выбрать группу из трех девочек из 14 девочек.
