Давайте решим все предложенные вами задачи по очереди.
1. Решите уравнение 6х² + 18х = 0.
Для решения уравнения вынесем общий множитель:
[ 6x(x + 3) = 0 ]
Решения будут:
[ x = 0 ]
или
[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 ]
Ответ: ( x = 0 ) и ( x = -3 ).
2. Решите уравнение 4х² - 9 = 0.
Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов:
[ (2x - 3)(2x + 3) = 0 ]
Решения:
[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} ]
или
[ 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} ]
Ответ: ( x = \frac{3}{2} ) и ( x = -\frac{3}{2} ).
3. Решите уравнение x² - 8x + 7 = 0.
Для решения используем дискриминант:
[ D = b² - 4ac = (-8)² - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 ]
Находим корни:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 6}{2} ]
[ x_1 = \frac{14}{2} = 7 ]
[ x_2 = \frac{2}{2} = 1 ]
Ответ: ( x = 7 ) и ( x = 1 ).
4. Решите уравнение 3х² + 5х + 6 = 0.
Посчитаем дискриминант:
[ D = 5² - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 - 72 = -47 ]
Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет вещественных корней.
Ответ: нет вещественных решений.
5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 84.
Обозначим меньшее число как ( x ), тогда большее будет ( x + 5 ):
[ x(x + 5) = 84 ]
Решаем уравнение:
[ x² + 5x - 84 = 0 ]
Находим дискриминант:
[ D = 5² + 4 \cdot 84 = 25 + 336 = 361 ]
Корни:
[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm 19}{2} ]
[ x_1 = \frac{14}{2} = 7 ]
[ x_2 = \frac{-24}{2} = -12 ] (отрицательное значение игнорируем)
Следовательно, большее число:
[ 7 + 5 = 12 ]
Ответ: числа 7 и 12.
6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а площадь — 24 см². Найдите длины сторон.
Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ):
[ 2a + 2b = 22 \Rightarrow a + b = 11 ]
[ ab = 24 ]
Система уравнений:
- ( b = 11 - a )
- ( a(11 - a) = 24 )
Подставим во второе уравнение:
[ 11a - a² = 24 \Rightarrow a² - 11a + 24 = 0 ]
Находим дискриминант:
[ D = 11² - 4 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 ]
Корни:
[ a_{1,2} = \frac{11 \pm 5}{2} ]
[ a_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad a_2 = \frac{6}{2} = 3 ]
Ответ: стороны 8 см и 3 см.
9. Теплоход прошел 54 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
Обозначим скорость теплохода в стоячей воде как ( v ). Тогда по течению скорость будет ( v + 3 ), а против течения ( v - 3 ).
[ \frac{54}{v + 3} + \frac{42}{v - 3} = 4 ]
Умножим обе стороны на ((v + 3)(v - 3)):
[ 54(v - 3) + 42(v + 3) = 4(v² - 9) ]
Раскроем скобки:
[ 54v - 162 + 42v + 126 = 4v² - 36 ]
[ 96v - 36 = 4v² ]
Приведем уравнение к стандартному виду:
[ 4v² - 96v + 36 = 0 ]
Делим на 4:
[ v² - 24v + 9 = 0 ]
Находим дискриминант:
[ D = 24² - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 576 - 36 = 540 ]
Корни:
[ v_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{540}}{2} = \frac{24 \pm 6\sqrt{15}}{2} = 12 \pm 3\sqrt{15} ]
Ограничимся положительным корнем:
Ответ: ( v \approx 12 + 3\sqrt{15} ) (примерно 24.55 км/ч).
10. Паша поехал на дачу на велосипеде, а Саша на мотоцикле. Выехали они одновременно, но т.к. скорость мотоцикла на 10 км/час больше скорости велосипеда, то Саша приехал на 2 часа раньше Паши. Найдите скорость движения каждого мальчика, если расстояние от дома до дачи 40 км.
Обозначим скорость Паши (вело) как ( v ), тогда скорость Саши (мотоцик) будет ( v + 10 ).
У Паши время в пути:
[ t_P = \frac{40}{v} ]
У Саши:
[ t_S = \frac{40}{v + 10} ]
По условию:
[ t_P - t_S = 2 ]
Подставим:
[ \frac{40}{v} - \frac{40}{v + 10} = 2 ]
Умножив на ( v(v + 10) ):
[ 40(v + 10) - 40v = 2v(v + 10) ]
Раскроем все скобки и упростим:
[ 400 = 2v² + 20v ]
[ 2v² + 20v - 400 = 0 ]
Делим на 2:
[ v² + 10v - 200 = 0 ]
Находим дискриминант:
[ D = 10² + 800 = 900 ]
Корни:
[ v_{1,2} = \frac{-10 \pm 30}{2} ]
[ v_1 = 10, \quad v_2 = -20 ] (отрицательное значение игнорируем)
Скорость Паши 10 км/ч, тогда скорость Саши:
[ v + 10 = 20 \text{ км/ч} ]
Ответ: скорость Паши — 10 км/ч, скорость Саши — 20 км/ч.
