Вариант 2 1. Решите уравнение 6х2 + 18х = 0. 2. Решите уравнение 4х2 – 9 = 0. 3. Решите уравнение x2 – 8x + 7 = 0. 4. Решите уравнение 3х2 + 5x + 6 = 0. 5. Произведение двух…

Давайте решим все предложенные вами задачи по очереди.

1. Решите уравнение 6х² + 18х = 0.

Для решения уравнения вынесем общий множитель: \[ 6x(x + 3) = 0 \] Решения будут: \[ x = 0 \] или \[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \] Ответ: \( x = 0 \) и \( x = -3 \).

2. Решите уравнение 4х² - 9 = 0.

Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов: \[ (2x - 3)(2x + 3) = 0 \] Решения: \[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \] или \[ 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \] Ответ: \( x = \frac{3}{2} \) и \( x = -\frac{3}{2} \).

3. Решите уравнение x² - 8x + 7 = 0.

Для решения используем дискриминант: \[ D = b² - 4ac = (-8)² - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 \] Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 6}{2} \] \[ x_1 = \frac{14}{2} = 7 \] \[ x_2 = \frac{2}{2} = 1 \] Ответ: \( x = 7 \) и \( x = 1 \).

4. Решите уравнение 3х² + 5х + 6 = 0.

Посчитаем дискриминант: \[ D = 5² - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 - 72 = -47 \] Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет вещественных корней. Ответ: нет вещественных решений.

5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 84.

Обозначим меньшее число как \( x \), тогда большее будет \( x + 5 \): \[ x(x + 5) = 84 \] Решаем уравнение: \[ x² + 5x - 84 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 5² + 4 \cdot 84 = 25 + 336 = 361 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm 19}{2} \] \[ x_1 = \frac{14}{2} = 7 \] \[ x_2 = \frac{-24}{2} = -12 \] (отрицательное значение игнорируем) Следовательно, большее число: \[ 7 + 5 = 12 \] Ответ: числа 7 и 12.

6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а площадь — 24 см². Найдите длины сторон.

Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \): \[ 2a + 2b = 22 \Rightarrow a + b = 11 \] \[ ab = 24 \] Система уравнений:

1. \( b = 11 - a \)
2. \( a(11 - a) = 24 \)

Подставим во второе уравнение: \[ 11a - a² = 24 \Rightarrow a² - 11a + 24 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 11² - 4 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \] Корни: \[ a_{1,2} = \frac{11 \pm 5}{2} \] \[ a_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad a_2 = \frac{6}{2} = 3 \] Ответ: стороны 8 см и 3 см.

9. Теплоход прошел 54 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Обозначим скорость теплохода в стоячей воде как \( v \). Тогда по течению скорость будет \( v + 3 \), а против течения \( v - 3 \). \[ \frac{54}{v + 3} + \frac{42}{v - 3} = 4 \] Умножим обе стороны на \((v + 3)(v - 3)\): \[ 54(v - 3) + 42(v + 3) = 4(v² - 9) \] Раскроем скобки: \[ 54v - 162 + 42v + 126 = 4v² - 36 \] \[ 96v - 36 = 4v² \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 4v² - 96v + 36 = 0 \] Делим на 4: \[ v² - 24v + 9 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 24² - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 576 - 36 = 540 \] Корни: \[ v_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{540}}{2} = \frac{24 \pm 6\sqrt{15}}{2} = 12 \pm 3\sqrt{15} \] Ограничимся положительным корнем: Ответ: \( v \approx 12 + 3\sqrt{15} \) (примерно 24.55 км/ч).

10. Паша поехал на дачу на велосипеде, а Саша на мотоцикле. Выехали они одновременно, но т.к. скорость мотоцикла на 10 км/час больше скорости велосипеда, то Саша приехал на 2 часа раньше Паши. Найдите скорость движения каждого мальчика, если расстояние от дома до дачи 40 км.

Обозначим скорость Паши (вело) как \( v \), тогда скорость Саши (мотоцик) будет \( v + 10 \). У Паши время в пути: \[ t_P = \frac{40}{v} \] У Саши: \[ t_S = \frac{40}{v + 10} \] По условию: \[ t_P - t_S = 2 \] Подставим: \[ \frac{40}{v} - \frac{40}{v + 10} = 2 \] Умножив на \( v(v + 10) \): \[ 40(v + 10) - 40v = 2v(v + 10) \] Раскроем все скобки и упростим: \[ 400 = 2v² + 20v \] \[ 2v² + 20v - 400 = 0 \] Делим на 2: \[ v² + 10v - 200 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 10² + 800 = 900 \] Корни: \[ v_{1,2} = \frac{-10 \pm 30}{2} \] \[ v_1 = 10, \quad v_2 = -20 \] (отрицательное значение игнорируем) Скорость Паши 10 км/ч, тогда скорость Саши: \[ v + 10 = 20 \text{ км/ч} \] Ответ: скорость Паши — 10 км/ч, скорость Саши — 20 км/ч.