периметр прямоугольника равен 182 м, а его площадь 1830 м². найдите длины сторон прямоугольника
Чтобы найти длины сторон прямоугольника, воспользуемся формулами для периметра и площади:
Формулы:
Периметр \( P \) прямоугольника рассчитывается по формуле: \[ P = 2(a + b) \] где \( a \) — длина, а \( b \) — ширина прямоугольника.
Площадь \( S \) прямоугольника рассчитывается по формуле: \[ S = a \cdot b \]
Данные задачи:
- Периметр \( P = 182 \) м
- Площадь \( S = 1830 \) м²
Запишем уравнения: Сначала из формулы для периметра выразим одну из сторон. Разделим обе стороны уравнения на 2: \[ a + b = \frac{P}{2} = \frac{182}{2} = 91 \] Это первое уравнение.
Второе уравнение на основе площади у нас уже есть: \[ a \cdot b = 1830 \]
Система уравнений: У нас есть система уравнений: \[ 1) \quad a + b = 91 \] \[ 2) \quad a \cdot b = 1830 \]
Выразим одну из переменных: Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = 91 - a \]
Подставим в уравнение площади: Теперь подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a \cdot (91 - a) = 1830 \] Это упростится до: \[ 91a - a^2 = 1830 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 91a + 1830 = 0 \]
Решим квадратное уравнение: Для решения используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-91)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1830 = 8281 - 7320 = 961 \] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных решения.
Найдем корни уравнения по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ a = \frac{91 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{91 \pm 31}{2} \]
Теперь найдем два значения: \[ a_1 = \frac{122}{2} = 61 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{60}{2} = 30 \]
Находим b: Теперь найдем \( b \) для каждого найденного \( a \):
- Если \( a = 61 \): \[ b = 91 - 61 = 30 \]
- Если \( a = 30 \): \[ b = 91 - 30 = 61 \]
Ответ: Длину и ширину прямоугольника можно записать как: \[ a = 61 \, \text{м}, \, b = 30 \, \text{м} \quad \text{или} \quad a = 30 \, \text{м}, \, b = 61 \, \text{м} \]
Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 61 м и 30 м.
