Периметр прямоугольника равен 182 м, а его площадь 1830 м². найдите длины сторон прямоугольника

Чтобы найти длины сторон прямоугольника, воспользуемся формулами для периметра и площади: 1. **Формулы:** - Периметр \( P \) прямоугольника рассчитывается по формуле: \[ P = 2(a + b) \] где \( a \) — длина, а \( b \) — ширина прямоугольника. - Площадь \( S \) прямоугольника рассчитывается по формуле: \[ S = a \cdot b \] 2. **Данные задачи:** - Периметр \( P = 182 \) м - Площадь \( S = 1830 \) м² 3. **Запишем уравнения:** Сначала из формулы для периметра выразим одну из сторон. Разделим обе стороны уравнения на 2: \[ a + b = \frac{P}{2} = \frac{182}{2} = 91 \] Это первое уравнение. Второе уравнение на основе площади у нас уже есть: \[ a \cdot b = 1830 \] 4. **Система уравнений:** У нас есть система уравнений: \[ 1) \quad a + b = 91 \] \[ 2) \quad a \cdot b = 1830 \] 5. **Выразим одну из переменных:** Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = 91 - a \] 6. **Подставим в уравнение площади:** Теперь подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a \cdot (91 - a) = 1830 \] Это упростится до: \[ 91a - a^2 = 1830 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 91a + 1830 = 0 \] 7. **Решим квадратное уравнение:** Для решения используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-91)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1830 = 8281 - 7320 = 961 \] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных решения. Найдем корни уравнения по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ a = \frac{91 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{91 \pm 31}{2} \] Теперь найдем два значения: \[ a_1 = \frac{122}{2} = 61 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{60}{2} = 30 \] 8. **Находим b:** Теперь найдем \( b \) для каждого найденного \( a \): - Если \( a = 61 \): \[ b = 91 - 61 = 30 \] - Если \( a = 30 \): \[ b = 91 - 30 = 61 \] 9. **Ответ:** Длину и ширину прямоугольника можно записать как: \[ a = 61 \, \text{м}, \, b = 30 \, \text{м} \quad \text{или} \quad a = 30 \, \text{м}, \, b = 61 \, \text{м} \] Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 61 м и 30 м.