integrate (x ^ 3 + x ^ 2) dx from 1 to 2

Давайте решим задачу по интегрированию функции \( f(x) = x^3 + x^2 \) на интервале от 1 до 2. Мы проведем все шаги, чтобы вы поняли, как это делается.

Шаг 1: Найдите неопределенный интеграл

Для начала найдем неопределенный интеграл функции \( f(x) = x^3 + x^2 \): \[ \int (x^3 + x^2) \, dx \]

Мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно: \[ \int x^3 \, dx + \int x^2 \, dx \]

Теперь, применим правило интегрирования для степенных функций, которое гласит: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \]

Шаг 2: Интегрируем каждое слагаемое

1. Для \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{4}}{4} \]

2. Для \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^{3}}{3} \]

Таким образом, неопределенный интеграл будет: \[ \int (x^3 + x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C \]

Шаг 3: Найдите определенный интеграл

Теперь, чтобы найти определенный интеграл от 1 до 2, нам нужно подставить эти значения в наш неопределенный интеграл: \[ \int_{1}^{2} (x^3 + x^2) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_{1}^{2} \]

Шаг 4: Подставьте пределы интегрирования

Подставим верхний предел (2): \[ \frac{2^4}{4} + \frac{2^3}{3} = \frac{16}{4} + \frac{8}{3} = 4 + \frac{8}{3} \] Чтобы сложить \( 4 \) и \( \frac{8}{3} \), преобразуем \( 4 \) в дробь с общим знаменателем: \[ 4 = \frac{12}{3} \] Теперь складываем: \[ \frac{12}{3} + \frac{8}{3} = \frac{20}{3} \]

Теперь подставим нижний предел (1): \[ \frac{1^4}{4} + \frac{1^3}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \] Чтобы сложить, найдем общий знаменатель, который равен 12: \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \] Теперь складываем: \[ \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12} \]

Шаг 5: Вычислите определенный интеграл

Теперь вычтем результат для нижнего предела из результата для верхнего предела: \[ \int_{1}^{2} (x^3 + x^2) \, dx = \frac{20}{3} - \frac{7}{12} \]

Чтобы выполнить вычитание, также найдем общий знаменатель: \[ \frac{20}{3} = \frac{80}{12} \] Теперь вычтем: \[ \frac{80}{12} - \frac{7}{12} = \frac{73}{12} \]

Ответ

Таким образом, значение определённого интеграла: \[ \int_{1}^{2} (x^3 + x^2) \, dx = \frac{73}{12} \]

Это и есть окончательный ответ! Если у вас есть какие-то вопросы по шагам решения, не стесняйтесь спрашивать!