Integrate integrate (2x ^ 2 + 3x ^ 3) dx from 0 to 2 dx from 0 to 2

Для решения задачи необходимо выполнить определённый двойной интеграл функции \( 2x^2 + 3x^3 \) на области прямоугольного параллелепипеда, заданного пределами от 0 до 2 для \( x \) и опять от 0 до 2 для \( y \). Однако необходимо отметить, что в данной задаче интеграл по \( y \) независим от \( x \). Таким образом, мы можем выразить двойной интеграл как произведение интеграла по \( x \): \[ \int_0^2 \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dy \, dx. \] Первый шаг — вычислить внутренний интеграл по \( y \): \[ \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dy = (2x^2 + 3x^3) \cdot \int_0^2 dy = (2x^2 + 3x^3) \cdot [y]_0^2 = (2x^2 + 3x^3) \cdot (2 - 0) = 2(2x^2 + 3x^3). \] Теперь перейдём ко второму шагу — вычислению внешнего интеграла: \[ \int_0^2 2(2x^2 + 3x^3) \, dx = 2 \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dx. \] Теперь вычислим интеграл по \( x \): \[ \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dx = \int_0^2 2x^2 \, dx + \int_0^2 3x^3 \, dx. \] Решим каждую часть отдельно: 1. **Первый интеграл:** \[ \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 \quad \text{(обобщенная формула для интегрирования)}. \] Теперь подставим пределы: \[ \left[\frac{2}{3}x^3\right]_0^2 = \frac{2}{3}(2^3) - \frac{2}{3}(0^3) = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}. \] 2. **Второй интеграл:** \[ \int 3x^3 \, dx = \frac{3}{4}x^4. \] Так же подставим пределы: \[ \left[\frac{3}{4}x^4\right]_0^2 = \frac{3}{4}(2^4) - \frac{3}{4}(0^4) = \frac{3}{4}(16) = 12. \] Теперь подставим значения обратно: \[ \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dx = \frac{16}{3} + 12 = \frac{16}{3} + \frac{36}{3} = \frac{52}{3}. \] Теперь вернёмся к уравнению для внешнего интеграла: \[ 2 \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dx = 2 \cdot \frac{52}{3} = \frac{104}{3}. \] Таким образом, результат двойного интеграла: \[ \int_0^2 \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dy \, dx = \frac{104}{3}. \] Это окончательный ответ.