integrate integrate (2x ^ 2 + 3x ^ 3) dx from 0 to 2 dx from 0 to 2
Для решения задачи необходимо выполнить определённый двойной интеграл функции \( 2x^2 + 3x^3 \) на области прямоугольного параллелепипеда, заданного пределами от 0 до 2 для \( x \) и опять от 0 до 2 для \( y \).
Однако необходимо отметить, что в данной задаче интеграл по \( y \) независим от \( x \). Таким образом, мы можем выразить двойной интеграл как произведение интеграла по \( x \):
\[ \int_0^2 \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dy \, dx. \]
Первый шаг — вычислить внутренний интеграл по \( y \):
\[ \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dy = (2x^2 + 3x^3) \cdot \int_0^2 dy = (2x^2 + 3x^3) \cdot [y]_0^2 = (2x^2 + 3x^3) \cdot (2 - 0) = 2(2x^2 + 3x^3). \]
Теперь перейдём ко второму шагу — вычислению внешнего интеграла:
\[ \int_0^2 2(2x^2 + 3x^3) \, dx = 2 \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dx. \]
Теперь вычислим интеграл по \( x \):
\[ \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dx = \int_0^2 2x^2 \, dx + \int_0^2 3x^3 \, dx. \]
Решим каждую часть отдельно:
Первый интеграл: \[ \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 \quad \text{(обобщенная формула для интегрирования)}. \] Теперь подставим пределы: \[ \left[\frac{2}{3}x^3\right]_0^2 = \frac{2}{3}(2^3) - \frac{2}{3}(0^3) = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}. \]
Второй интеграл: \[ \int 3x^3 \, dx = \frac{3}{4}x^4. \] Так же подставим пределы: \[ \left[\frac{3}{4}x^4\right]_0^2 = \frac{3}{4}(2^4) - \frac{3}{4}(0^4) = \frac{3}{4}(16) = 12. \]
Теперь подставим значения обратно: \[ \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dx = \frac{16}{3} + 12 = \frac{16}{3} + \frac{36}{3} = \frac{52}{3}. \]
Теперь вернёмся к уравнению для внешнего интеграла:
\[ 2 \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dx = 2 \cdot \frac{52}{3} = \frac{104}{3}. \]
Таким образом, результат двойного интеграла:
\[ \int_0^2 \int_0^2 (2x^2 + 3x^3) \, dy \, dx = \frac{104}{3}. \]
Это окончательный ответ.
