Для решения задачи о нахождении размера коробки без крышки с квадратным основанием, чтобы максимизировать её объём, давайте пройдёмся по шагам.
Шаг 1: Определим переменные
Обозначим:
- ( x ) — длину стороны квадратного основания.
- ( h ) — высоту коробки.
Шаг 2: Запишем уравнение для площади поверхности
Так как коробка имеет квадратное основание и открыта сверху, то площадь поверхности (S) коробки будет равна площади основания plus площадь боковых сторон. Мы знаем, что:
[
S = x^2 + 4 \cdot (x \cdot h)
]
В данной задаче площадь поверхности равна 192 см². То есть:
[
x^2 + 4xh = 192
]
Шаг 3: Выразим ( h ) через ( x )
Отсюда мы можем выразить высоту ( h ):
[
4xh = 192 - x^2
]
[
h = \frac{192 - x^2}{4x}
]
Шаг 4: Запишем уравнение для объёма
Объём (V) коробки можно выразить как:
[
V = x^2 \cdot h
]
Подставим выражение для ( h ):
[
V = x^2 \cdot \frac{192 - x^2}{4x} = \frac{x(192 - x^2)}{4}
]
Упростим уравнение:
[
V = \frac{192x - x^3}{4}
]
Шаг 5: Найдём производную объёма
Теперь нам нужно максимизировать объём ( V ). Для этого найдем его производную по ( x ) и приравняем к нулю:
[
\frac{dV}{dx} = \frac{192 - 3x^2}{4}
]
Приравниваем производную к нулю:
[
192 - 3x^2 = 0
]
Шаг 6: Решим уравнение
Решим уравнение для ( x^2 ):
[
3x^2 = 192
]
[
x^2 = 64
]
[
x = 8 \text{ см} \quad (x > 0)
]
Шаг 7: Найдем высоту ( h )
Теперь подставим значение ( x ) в уравнение для высоты ( h ):
[
h = \frac{192 - 8^2}{4 \cdot 8} = \frac{192 - 64}{32} = \frac{128}{32} = 4 \text{ см}
]
Шаг 8: Подведем итоги
Таким образом, размер коробки, при котором она будет иметь наибольший объём:
- Длина стороны основания ( x = 8 ) см
- Высота коробки ( h = 4 ) см
Ответ
Коробка должна иметь размеры 8 см в основании и 4 см в высоту для максимизации объёма.
