Фирма планирует выпуск коробки без крышки с квадратным основанием и площадью поверхности 192 см в квадрате.Найдите размер коробки при котором она будет иметь наибольший объём

Для решения задачи о нахождении размера коробки без крышки с квадратным основанием, чтобы максимизировать её объём, давайте пройдёмся по шагам.

Шаг 1: Определим переменные

Обозначим:

• \( x \) — длину стороны квадратного основания.
• \( h \) — высоту коробки.

Шаг 2: Запишем уравнение для площади поверхности

Так как коробка имеет квадратное основание и открыта сверху, то площадь поверхности (S) коробки будет равна площади основания plus площадь боковых сторон. Мы знаем, что:

\[ S = x^2 + 4 \cdot (x \cdot h) \]

В данной задаче площадь поверхности равна 192 см². То есть:

\[ x^2 + 4xh = 192 \]

Шаг 3: Выразим \( h \) через \( x \)

Отсюда мы можем выразить высоту \( h \):

\[ 4xh = 192 - x^2 \] \[ h = \frac{192 - x^2}{4x} \]

Шаг 4: Запишем уравнение для объёма

Объём (V) коробки можно выразить как:

\[ V = x^2 \cdot h \]

Подставим выражение для \( h \):

\[ V = x^2 \cdot \frac{192 - x^2}{4x} = \frac{x(192 - x^2)}{4} \]

Упростим уравнение:

\[ V = \frac{192x - x^3}{4} \]

Шаг 5: Найдём производную объёма

Теперь нам нужно максимизировать объём \( V \). Для этого найдем его производную по \( x \) и приравняем к нулю:

\[ \frac{dV}{dx} = \frac{192 - 3x^2}{4} \]

Приравниваем производную к нулю:

\[ 192 - 3x^2 = 0 \]

Шаг 6: Решим уравнение

Решим уравнение для \( x^2 \):

\[ 3x^2 = 192 \] \[ x^2 = 64 \] \[ x = 8 \text{ см} \quad (x > 0) \]

Шаг 7: Найдем высоту \( h \)

Теперь подставим значение \( x \) в уравнение для высоты \( h \):

\[ h = \frac{192 - 8^2}{4 \cdot 8} = \frac{192 - 64}{32} = \frac{128}{32} = 4 \text{ см} \]

Шаг 8: Подведем итоги

Таким образом, размер коробки, при котором она будет иметь наибольший объём:

• Длина стороны основания \( x = 8 \) см
• Высота коробки \( h = 4 \) см

Ответ

Коробка должна иметь размеры 8 см в основании и 4 см в высоту для максимизации объёма.