Контрольная работа по теме решение квадратных уравнений

Давайте разберем каждое из уравнений по шагам.

Вариант 1

Задание 1: Решите уравнения:

а) \( 12 - x^2 = 11 \)

1. Переносим все на одну сторону уравнения: \[ 12 - x^2 - 11 = 0 \implies -x^2 + 1 = 0 \]

2. Упростим: \[ -x^2 = -1 \]

3. Умножим обе стороны на \(-1\): \[ x^2 = 1 \]

4. Извлекаем корень: \[ x = \pm \sqrt{1} \implies x = \pm 1 \]

Ответ: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

б) \( x^2 - 10x = 0 \)

1. Вынесем \( x \) за скобку: \[ x(x - 10) = 0 \]

2. Решаем каждое уравнение: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 10 = 0 \]

3. Из второго уравнения: \[ x = 10 \]

Ответ: \( x = 0 \) и \( x = 10 \).

Задание 2: Решите уравнения:

а) \( x^2 - 5x - 6 = 0 \)

1. Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]

2. Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} \]

3. Найдем значения корней: \[ x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1 \]

Ответ: \( x = 6 \) и \( x = -1 \).

б) \( x^2 + 9x + 4 = 0 \)

1. Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 81 - 16 = 65 \]

2. Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{65}}{2} \]

Ответ: \( x = \frac{-9 \pm \sqrt{65}}{2} \).

Задание 3:

3. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде \( v \).

1. Скорость против течения: \( v - 4 \).
2. Скорость по течению: \( v + 4 \).

Обозначим время против течения как \( t \). Тогда:

\[ \frac{77}{v - 4} = t \] \[ \frac{77}{v + 4} = t - 2 \]

Уравняем: \[ t = \frac{77}{v - 4} = \frac{77}{v + 4} + 2 \]

Извлечем уравнение: \[ \frac{77}{v - 4} - \frac{77}{v + 4} = 2 \]

Умножим на \((v - 4)(v + 4)\) и решим: \[ 77(v + 4) - 77(v - 4) = 2(v^2 - 16) \] \[ 77v + 308 - 77v + 308 = 2v^2 - 32 \] \[ 616 = 2v^2 - 32 \] \[ 2v^2 = 648 \] \[ v^2 = 324 \] \[ v = 18 \]

Ответ: \( v = 18 \) км/ч.

Задание 4:

4. Решите уравнение: \( x^2 = 5(x + 2) \).

Перепишем: \[ x^2 - 5x - 10 = 0 \]

1. Дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 25 + 40 = 65 \]

2. Корни: \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{65}}{2} \]

Ответ: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{65}}{2} \).

Задание 5:

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа \(-1\) и \(-3\).

1. Уравнение имеет вид: \[ (x + 1)(x + 3) = 0 \]

Раскроем скобки: \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]

Ответ: \( x^2 + 4x + 3 = 0 \).

Задание 6:

В уравнении \( x^2 + px + 15 = 0 \) один из корней равен \(-5\).

1. Используем теорему Виета: сумма корней \(-p = x_1 + x_2\), произведение \(15 = x_1x_2\).

Если один из корней \(-5\), то: \[ x_1 = -5, \quad x_2 = m \] \[ -5 + m = -p \] \[ -5m = 15 \] \[ m = -3 \]

Таким образом: \[ -5 + (-3) = -p \implies -8 = -p \implies p = 8 \]

Ответ: \( p = 8 \).

Таким образом, все задания решены.