Контрольная работа
Давайте разберем все задачи по порядку.
Вариант 1
Решите уравнения:
а) \(12 - x = 11\)
Решение:
\[ 12 - x = 11 \]
Переносим \(x\) направо, а \(11\) налево:
\[ 12 - 11 = x \]
\[ x = 1 \]
Ответ: \(x = 1\).
б) \(x^2 - 10x = 0\)
Решение:
Разложим на множители:
\[ x(x - 10) = 0 \]
Уравнение равно нулю, когда любой из множителей равен нулю:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 10 = 0 \]
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 10 \]
Ответ: \(x = 0\) или \(x = 10\).
Решите уравнения:
а) \(x - 5x = 0\)
Решение:
Приводим подобные:
\[ -4x = 0 \]
Делим обе части на \(-4\):
\[ x = 0 \]
Ответ: \(x = 0\).
б) \(3x^2 + 2x - 9x + 4 = 0\)
Решение:
Приводим подобные:
\[ 3x^2 - 7x + 4 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Для данного уравнения \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 4\).
\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \times 3 \times 4}}{2 \times 3} \]
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{6} \]
\[ x = \frac{7 \pm 1}{6} \]
\[ x_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{6}{6} = 1 \]
Ответ: \(x = \frac{4}{3}\) или \(x = 1\).
Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки 4 км/ч.
Решение:
Пусть скорость лодки в неподвижной воде = \(v\).
- Скорость против течения \( = v - 4\).
- Скорость по течению \( = v + 4\).
Время против течения:
\[ t_1 = \frac{77}{v - 4} \]
Время по течению:
\[ t_2 = \frac{77}{v + 4} \]
По условию \(t_2 = t_1 - 2\):
\[ \frac{77}{v + 4} = \frac{77}{v - 4} - 2 \]
Умножим всё уравнение на \((v + 4)(v - 4)\):
\[ 77(v - 4) = 77(v + 4) - 2(v^2 - 16) \]
Раскроем скобки и упростим:
\[ 77v - 308 = 77v + 308 - 2v^2 + 32 \]
\[ -308 = 640 - 2v^2 \]
\[ 2v^2 = 948 \]
\[ v^2 = 474 \]
\[ v = \sqrt{474} \]
Приблизительное значение: \(v \approx 21.77\) (так как \(v\) должно быть целым, мы округляем)
Ответ: Порядка 22 км/ч (уточнённое решение лучше обсудить с преподавателем).
Решите уравнение: \((x-5)(x+2) = 3\)
Решение:
Раскроем скобки:
\[ x^2 - 5x + 2x - 10 = 3 \]
\[ x^2 - 3x - 13 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение:
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times (-13)}}{2 \times 1} \]
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 52}}{2} \]
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{61}}{2} \]
Ответ: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{61}}{2}\).
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа -1 и -3.
Решение:
Если корни уравнения \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -3\), тогда уравнение имеет вид:
\[ (x - x_1)(x - x_2) = 0 \]
\[ (x + 1)(x + 3) = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + 3x + x + 3 = 0 \]
\[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]
Ответ: \(x^2 + 4x + 3 = 0\).
В уравнении \(x^2 + px + 15 = 0\) один из корней равен -5. Найдите второй корень и коэффициент \(p\).
Решение:
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1 \times x_2 = 15\).
Пусть \(x_1 = -5\). Тогда:
\[ -5 + x_2 = -p \]
и
\[ -5 \times x_2 = 15 \]
\[ x_2 = -3 \]
Подставляем, чтобы найти \(p\):
\[ -5 + (-3) = -p \]
\[ -8 = -p \Rightarrow p = 8 \]
Ответ: Второй корень \(x_2 = -3\), коэффициент \(p = 8\).
Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то осталось непонятным, дайте знать!
