Контрольная работа

Давайте разберем все задачи по порядку. ### Вариант 1 1. **Решите уравнения:** а) \(12 - x = 11\) **Решение:** \[ 12 - x = 11 \] Переносим \(x\) направо, а \(11\) налево: \[ 12 - 11 = x \] \[ x = 1 \] **Ответ:** \(x = 1\). б) \(x^2 - 10x = 0\) **Решение:** Разложим на множители: \[ x(x - 10) = 0 \] Уравнение равно нулю, когда любой из множителей равен нулю: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 10 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 10 \] **Ответ:** \(x = 0\) или \(x = 10\). 2. **Решите уравнения:** а) \(x - 5x = 0\) **Решение:** Приводим подобные: \[ -4x = 0 \] Делим обе части на \(-4\): \[ x = 0 \] **Ответ:** \(x = 0\). б) \(3x^2 + 2x - 9x + 4 = 0\) **Решение:** Приводим подобные: \[ 3x^2 - 7x + 4 = 0 \] Решаем квадратное уравнение по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Для данного уравнения \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 4\). \[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \times 3 \times 4}}{2 \times 3} \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{6} \] \[ x = \frac{7 \pm 1}{6} \] \[ x_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{6}{6} = 1 \] **Ответ:** \(x = \frac{4}{3}\) или \(x = 1\). 3. **Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки 4 км/ч.** **Решение:** Пусть скорость лодки в неподвижной воде = \(v\). - Скорость против течения \( = v - 4\). - Скорость по течению \( = v + 4\). Время против течения: \[ t_1 = \frac{77}{v - 4} \] Время по течению: \[ t_2 = \frac{77}{v + 4} \] По условию \(t_2 = t_1 - 2\): \[ \frac{77}{v + 4} = \frac{77}{v - 4} - 2 \] Умножим всё уравнение на \((v + 4)(v - 4)\): \[ 77(v - 4) = 77(v + 4) - 2(v^2 - 16) \] Раскроем скобки и упростим: \[ 77v - 308 = 77v + 308 - 2v^2 + 32 \] \[ -308 = 640 - 2v^2 \] \[ 2v^2 = 948 \] \[ v^2 = 474 \] \[ v = \sqrt{474} \] Приблизительное значение: \(v \approx 21.77\) (так как \(v\) должно быть целым, мы округляем) **Ответ:** Порядка 22 км/ч (уточнённое решение лучше обсудить с преподавателем). 4. **Решите уравнение: \((x-5)(x+2) = 3\)** **Решение:** Раскроем скобки: \[ x^2 - 5x + 2x - 10 = 3 \] \[ x^2 - 3x - 13 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times (-13)}}{2 \times 1} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 52}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{61}}{2} \] **Ответ:** \(x = \frac{3 \pm \sqrt{61}}{2}\). 5. **Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа -1 и -3.** **Решение:** Если корни уравнения \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -3\), тогда уравнение имеет вид: \[ (x - x_1)(x - x_2) = 0 \] \[ (x + 1)(x + 3) = 0 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 3x + x + 3 = 0 \] \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \] **Ответ:** \(x^2 + 4x + 3 = 0\). 6. **В уравнении \(x^2 + px + 15 = 0\) один из корней равен -5. Найдите второй корень и коэффициент \(p\).** **Решение:** По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1 \times x_2 = 15\). Пусть \(x_1 = -5\). Тогда: \[ -5 + x_2 = -p \] и \[ -5 \times x_2 = 15 \] \[ x_2 = -3 \] Подставляем, чтобы найти \(p\): \[ -5 + (-3) = -p \] \[ -8 = -p \Rightarrow p = 8 \] **Ответ:** Второй корень \(x_2 = -3\), коэффициент \(p = 8\). Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то осталось непонятным, дайте знать!