Дано: ∆АВС АР- биссектриса угла А ВК- биссектриса угла В угол С=130° Найти: угол АДВ

Для решения задачи начнем с рассмотрения треугольника \( \Delta ABC \) с указанными данными.

1. Дано:

   • \( \angle C = 130^\circ \)
   • \( AP \) — биссектриса угла \( A \)
   • \( BK \) — биссектриса угла \( B \)

2. Необходимо найти:

   • Угол \( \angle ADB \)

3. Построение: Начнем с того, что в треугольнике сумма всех внутренних углов равна \( 180^\circ \): \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] Следовательно, \[ \angle A + \angle B + 130^\circ = 180^\circ \] Из этого уравнения можем выразить сумму углов \( A \) и \( B \): \[ \angle A + \angle B = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \]

4. Свойства биссектрис: Известно, что биссектрисы делят углы пополам:

   • Угол \( A \) делится на два равных угла: \[ \angle APB = \frac{1}{2} \angle A \]
   • Угол \( B \) делится на два равных угла: \[ \angle BPK = \frac{1}{2} \angle B \]

5. Сумма углов в точке \( P \): В точке \( P \) (где пересекаются биссектрисы) угол \( \angle APB + \angle BPK + \angle CPD = 360^\circ \). Поскольку углы \( APB \) и \( BPK \) являются половинами углов \( A \) и \( B \), мы можем записать: \[ \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} + \angle C = 180^\circ \]

6. Выражение для углов: Заменив \( \angle C = 130^\circ \): \[ \frac{\angle A + \angle B}{2} + 130^\circ = 180^\circ \] Мы уже получили, что \( \angle A + \angle B = 50^\circ \). Подставим это значение: \[ \frac{50^\circ}{2} + 130^\circ = 180^\circ \]

7. Решение для угла \( \angle ADB \): Угол \( \angle ADB \) является внешним углом относительно треугольника \( \Delta ABP \). По свойству внешних углов: \[ \angle ADB = \angle APB + \angle ABP \] Зная, что: \[ \angle APB = \frac{1}{2} \angle A \quad \text{и} \quad \angle ABP = \frac{1}{2} \angle B \] Подставляем: \[ \angle ADB = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ \]

Таким образом, угол \( \angle ADB = 25^\circ \).