написать уравнение касательной x^3-3x^3+3x при x0=-2
Чтобы найти уравнение касательной к функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x \) в точке \( x_0 = -2 \), необходимо выполнить несколько шагов:
Шаг 1: Найти значение функции в точке \( x_0 \)
Сначала подставим \( x_0 = -2 \) в функцию \( f(x) \):
\[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 3(-2) \]
Рассчитаем каждый член:
- \( (-2)^3 = -8 \)
- \( -3(-2)^2 = -3(4) = -12 \)
- \( 3(-2) = -6 \)
Теперь складываем:
\[ f(-2) = -8 - 12 - 6 = -26 \]
Таким образом, точка касания имеет координаты \( (-2, -26) \).
Шаг 2: Найти производную функции
Теперь найдем производную \( f'(x) \), чтобы определить наклон касательной.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 3x) \]
Используем правила дифференцирования:
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 \]
Шаг 3: Подставить \( x_0 \) в производную
Теперь подставим \( x_0 = -2 \) в производную для получения наклона касательной:
\[ f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) + 3 \]
Рассчитаем:
- \( 3(-2)^2 = 3(4) = 12 \)
- \( -6(-2) = 12 \)
Теперь сложим:
\[ f'(-2) = 12 + 12 + 3 = 27 \]
Таким образом, наклон касательной в точке \( x_0 = -2 \) равен \( 27 \).
Шаг 4: Использовать формулу уравнения касательной
Уравнение касательной можно записать в виде:
\[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \]
Подставим найденные значения:
\[ y - (-26) = 27(x - (-2)) \]
Упрощаем:
\[ y + 26 = 27(x + 2) \]
Теперь раскроем скобки и упростим:
\[ y + 26 = 27x + 54 \] \[ y = 27x + 54 - 26 \] \[ y = 27x + 28 \]
Ответ
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x \) в точке \( x_0 = -2 \) будет
\[ y = 27x + 28. \]
