Чтобы найти уравнение касательной к функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x ) в точке ( x_0 = -2 ), необходимо выполнить несколько шагов:
Шаг 1: Найти значение функции в точке ( x_0 )
Сначала подставим ( x_0 = -2 ) в функцию ( f(x) ):
[
f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 3(-2)
]
Рассчитаем каждый член:
- ( (-2)^3 = -8 )
- ( -3(-2)^2 = -3(4) = -12 )
- ( 3(-2) = -6 )
Теперь складываем:
[
f(-2) = -8 - 12 - 6 = -26
]
Таким образом, точка касания имеет координаты ( (-2, -26) ).
Шаг 2: Найти производную функции
Теперь найдем производную ( f'(x) ), чтобы определить наклон касательной.
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 3x)
]
Используем правила дифференцирования:
[
f'(x) = 3x^2 - 6x + 3
]
Шаг 3: Подставить ( x_0 ) в производную
Теперь подставим ( x_0 = -2 ) в производную для получения наклона касательной:
[
f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) + 3
]
Рассчитаем:
- ( 3(-2)^2 = 3(4) = 12 )
- ( -6(-2) = 12 )
Теперь сложим:
[
f'(-2) = 12 + 12 + 3 = 27
]
Таким образом, наклон касательной в точке ( x_0 = -2 ) равен ( 27 ).
Шаг 4: Использовать формулу уравнения касательной
Уравнение касательной можно записать в виде:
[
y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)
]
Подставим найденные значения:
[
y - (-26) = 27(x - (-2))
]
Упрощаем:
[
y + 26 = 27(x + 2)
]
Теперь раскроем скобки и упростим:
[
y + 26 = 27x + 54
]
[
y = 27x + 54 - 26
]
[
y = 27x + 28
]
Ответ
Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x ) в точке ( x_0 = -2 ) будет
[
y = 27x + 28.
]
