х2-у2=8 х-у=4

Давайте решим систему уравнений:

1. \(x^2 - y^2 = 8\)
2. \(x - y = 4\)

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Первое уравнение можно преобразовать, используя формулу разности квадратов. Формула разности квадратов гласит, что:

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

Применим эту формулу к нашему уравнению:

\[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \]

Таким образом, уравнение \(x^2 - y^2 = 8\) можно переписать как:

\[ (x - y)(x + y) = 8 \]

Шаг 2: Используем второе уравнение

У нас также есть второе уравнение:

\[ x - y = 4 \]

Теперь мы можем подставить значение \(x - y\) из второго уравнения в первое уравнение:

\[ 4(x + y) = 8 \]

Шаг 3: Решим уравнение для \(x + y\)

Теперь найдем \(x + y\):

\[ x + y = \frac{8}{4} = 2 \]

Шаг 4: Составим новую систему уравнений

Теперь у нас есть две линейные системы:

1. \(x - y = 4\)
2. \(x + y = 2\)

Теперь мы можем решить эту систему. Складываем оба уравнения:

\[ (x - y) + (x + y) = 4 + 2 \]

Это упростит уравнение:

\[ 2x = 6 \]

Теперь найдем \(x\):

\[ x = \frac{6}{2} = 3 \]

Шаг 5: Найдем \(y\)

Теперь подставим \(x = 3\) обратно в одно из уравнений для нахождения \(y\). Используем второе уравнение:

\[ 3 - y = 4 \]

Решим это уравнение для \(y\):

\[ -y = 4 - 3 \] \[ -y = 1 \] \[ y = -1 \]

Ответ

Таким образом, мы нашли:

\[ x = 3, \quad y = -1 \]

Система уравнений имеет решение: \[ (x, y) = (3, -1) \]

Проверка

Теперь давайте проверим, удовлетворяют ли наши значения обеим уравнениям в исходной системе:

1. Подставим в первое уравнение: \[ 3^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8 \quad \text{(верно)} \]

2. Подставим во второе уравнение: \[ 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 \quad \text{(верно)} \]

Таким образом, оба уравнения выполнены.