Х2-у2=8 х-у=4

Давайте решим систему уравнений: 1. \(x^2 - y^2 = 8\) 2. \(x - y = 4\) ### Шаг 1: Преобразуем уравнение Первое уравнение можно преобразовать, используя формулу разности квадратов. Формула разности квадратов гласит, что: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Применим эту формулу к нашему уравнению: \[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \] Таким образом, уравнение \(x^2 - y^2 = 8\) можно переписать как: \[ (x - y)(x + y) = 8 \] ### Шаг 2: Используем второе уравнение У нас также есть второе уравнение: \[ x - y = 4 \] Теперь мы можем подставить значение \(x - y\) из второго уравнения в первое уравнение: \[ 4(x + y) = 8 \] ### Шаг 3: Решим уравнение для \(x + y\) Теперь найдем \(x + y\): \[ x + y = \frac{8}{4} = 2 \] ### Шаг 4: Составим новую систему уравнений Теперь у нас есть две линейные системы: 1. \(x - y = 4\) 2. \(x + y = 2\) Теперь мы можем решить эту систему. Складываем оба уравнения: \[ (x - y) + (x + y) = 4 + 2 \] Это упростит уравнение: \[ 2x = 6 \] Теперь найдем \(x\): \[ x = \frac{6}{2} = 3 \] ### Шаг 5: Найдем \(y\) Теперь подставим \(x = 3\) обратно в одно из уравнений для нахождения \(y\). Используем второе уравнение: \[ 3 - y = 4 \] Решим это уравнение для \(y\): \[ -y = 4 - 3 \] \[ -y = 1 \] \[ y = -1 \] ### Ответ Таким образом, мы нашли: \[ x = 3, \quad y = -1 \] Система уравнений имеет решение: \[ (x, y) = (3, -1) \] ### Проверка Теперь давайте проверим, удовлетворяют ли наши значения обеим уравнениям в исходной системе: 1. Подставим в первое уравнение: \[ 3^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8 \quad \text{(верно)} \] 2. Подставим во второе уравнение: \[ 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 \quad \text{(верно)} \] Таким образом, оба уравнения выполнены.